Страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

918. Упростите выражение:

а) $\frac{2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}};

б) $\frac{25 \cdot 4^n}{4^n - 4^{n-1}};

В) $\frac{10 \cdot 6^n}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}};

Г) $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}.

а) Для упрощения выражения $ \frac{2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}} $ воспользуемся свойствами степеней $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $ и $ a^{m-k} = \frac{a^m}{a^k} $.
Сначала преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $ 3^{n+1} $.
$ 2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1} \cdot 3^1 - 5 \cdot 3^{n+1} = 3^{n+1} \cdot (2 \cdot 3 - 5) = 3^{n+1} \cdot (6 - 5) = 3^{n+1} \cdot 1 = 3^{n+1} $.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{3^{n+1}}{3^{n-1}} $.
Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $, получаем:
$ 3^{(n+1) - (n-1)} = 3^{n+1-n+1} = 3^2 = 9 $.
Ответ: $ 9 $.

б) Для упрощения выражения $ \frac{25 \cdot 4^n}{4^n - 4^{n-1}} $ преобразуем знаменатель.
Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель $ 4^n $:
$ 4^n - 4^{n-1} = 4^n - 4^n \cdot 4^{-1} = 4^n(1 - 4^{-1}) $.
Так как $ 4^{-1} = \frac{1}{4} $, то знаменатель равен:
$ 4^n(1 - \frac{1}{4}) = 4^n \cdot \frac{3}{4} $.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{25 \cdot 4^n}{4^n \cdot \frac{3}{4}} $.
Сократим общий множитель $ 4^n $:
$ \frac{25}{\frac{3}{4}} $.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:
$ 25 \cdot \frac{4}{3} = \frac{100}{3} $.
Ответ: $ \frac{100}{3} $.

в) Для упрощения выражения $ \frac{10 \cdot 6^n}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}} $ разложим составные числа в основаниях степеней на простые множители.
$ 10 = 2 \cdot 5 $ и $ 6 = 2 \cdot 3 $.
Преобразуем числитель:
$ 10 \cdot 6^n = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)^n = 2 \cdot 5 \cdot 2^n \cdot 3^n = 2^{1+n} \cdot 5 \cdot 3^n $.
Преобразуем знаменатель:
$ 2^{n+1} \cdot 3^{n-1} = 2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 3^{-1} $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{2^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^n}{2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 3^{-1}} $.
Сократим общие множители $ 2^{n+1} $ и $ 3^n $:
$ \frac{5}{3^{-1}} $.
Так как $ a^{-k} = \frac{1}{a^k} $, то $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $.
$ \frac{5}{\frac{1}{3}} = 5 \cdot 3 = 15 $.
Ответ: $ 15 $.

г) Для упрощения выражения $ \frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n} $ разложим основание степени в знаменателе на простые множители.
$ 100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 $.
Тогда знаменатель равен:
$ 100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = (2^2)^n \cdot (5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n} $.
Теперь преобразуем числитель, используя свойства степеней:
$ 2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1} = (2^{2n} \cdot 2^{-1}) \cdot (5^{2n} \cdot 5^1) $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{2^{2n} \cdot 2^{-1} \cdot 5^{2n} \cdot 5^1}{2^{2n} \cdot 5^{2n}} $.
Сократим общие множители $ 2^{2n} $ и $ 5^{2n} $:
$ 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} = 2.5 $.
Ответ: $ 2.5 $.

919. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{98}$;

б) $\sqrt{24}$;

в) $-\sqrt{242}$;

г) $-\sqrt{75}$;

д) $0,1\sqrt{128}$;

е) $0,4\sqrt{40}$;

ж) $\sqrt{12x^2}$, где $x \ge 0$;

з) $\sqrt{18y^2}$, где $y < 0$;

и) $\sqrt{5a^4}$.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{98}$, нужно разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.
Разложим число 98 на множители: $98 = 49 \cdot 2$.
Число 49 является квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$.

б) Разложим подкоренное число 24 на множители, выделив полный квадрат.
$24 = 4 \cdot 6$.
Число 4 является квадратом числа 2 ($4 = 2^2$).
Применим свойство корня:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$.

в) Рассмотрим выражение $-\sqrt{242}$. Знак минус остается перед корнем.
Разложим подкоренное число 242 на множители: $242 = 121 \cdot 2$.
Число 121 является квадратом числа 11 ($121 = 11^2$).
Вынесем множитель из-под знака корня:
$-\sqrt{242} = -\sqrt{121 \cdot 2} = -(\sqrt{121} \cdot \sqrt{2}) = -(11\sqrt{2}) = -11\sqrt{2}$.
Ответ: $-11\sqrt{2}$.

г) Рассмотрим выражение $-\sqrt{75}$. Знак минус остается перед корнем.
Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
Число 25 является квадратом числа 5 ($25 = 5^2$).
Вынесем множитель:
$-\sqrt{75} = -\sqrt{25 \cdot 3} = -(\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}) = -(5\sqrt{3}) = -5\sqrt{3}$.
Ответ: $-5\sqrt{3}$.

д) Рассмотрим выражение $0.1\sqrt{128}$. Множитель 0,1 остается перед корнем.
Разложим подкоренное число 128 на множители: $128 = 64 \cdot 2$.
Число 64 является квадратом числа 8 ($64 = 8^2$).
Вынесем множитель из-под знака корня и умножим на коэффициент перед корнем:
$0.1\sqrt{128} = 0.1\sqrt{64 \cdot 2} = 0.1 \cdot (\sqrt{64} \cdot \sqrt{2}) = 0.1 \cdot (8\sqrt{2}) = 0.8\sqrt{2}$.
Ответ: $0.8\sqrt{2}$.

е) Рассмотрим выражение $0.4\sqrt{40}$. Множитель 0,4 остается перед корнем.
Разложим подкоренное число 40 на множители: $40 = 4 \cdot 10$.
Число 4 является квадратом числа 2 ($4 = 2^2$).
Выполним преобразование:
$0.4\sqrt{40} = 0.4\sqrt{4 \cdot 10} = 0.4 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}) = 0.4 \cdot (2\sqrt{10}) = 0.8\sqrt{10}$.
Ответ: $0.8\sqrt{10}$.

ж) Рассмотрим выражение $\sqrt{12x^2}$, где $x \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители: $12x^2 = 4 \cdot 3 \cdot x^2$.
Используем свойство корня: $\sqrt{12x^2} = \sqrt{4 \cdot x^2 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{3}$.
Мы знаем, что $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{x^2} = |x|$.
Поскольку по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Следовательно, $\sqrt{12x^2} = 2 \cdot x \cdot \sqrt{3} = 2x\sqrt{3}$.
Ответ: $2x\sqrt{3}$.

з) Рассмотрим выражение $\sqrt{18y^2}$, где $y < 0$.
Разложим подкоренное выражение: $18y^2 = 9 \cdot 2 \cdot y^2$.
Применим свойство корня: $\sqrt{18y^2} = \sqrt{9 \cdot y^2 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2}$.
Мы знаем, что $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{y^2} = |y|$.
Поскольку по условию $y < 0$, то $|y| = -y$.
Следовательно, $\sqrt{18y^2} = 3 \cdot (-y) \cdot \sqrt{2} = -3y\sqrt{2}$.
Ответ: $-3y\sqrt{2}$.

и) Рассмотрим выражение $\sqrt{5a^4}$.
Представим $a^4$ как квадрат выражения: $a^4 = (a^2)^2$.
Применим свойство корня: $\sqrt{5a^4} = \sqrt{5 \cdot (a^2)^2} = \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$, а выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
Следовательно, $\sqrt{5a^4} = a^2\sqrt{5}$.
Ответ: $a^2\sqrt{5}$.

920. Внесите множитель под знак корня:

а) $10\sqrt{3}$;

б) $0,1\sqrt{2}$;

в) $-3\sqrt{5}$;

г) $-0,2\sqrt{40}$;

д) $x\sqrt{3}$, где $x \ge 0$;

е) $y\sqrt{5}$, где $y < 0$.

а) Чтобы внести положительный множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Так как $10 > 0$, то:
$10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}$.
Ответ: $\sqrt{300}$.

б) Множитель $0,1$ является положительным числом, поэтому вносим его под знак корня, возведя в квадрат:
$0,1\sqrt{2} = \sqrt{(0,1)^2 \cdot 2} = \sqrt{0,01 \cdot 2} = \sqrt{0,02}$.
Ответ: $\sqrt{0,02}$.

в) При внесении отрицательного множителя под знак корня, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится модуль этого множителя, возведенный в квадрат. Так как $-3 < 0$, то:
$-3\sqrt{5} = -\sqrt{3^2 \cdot 5} = -\sqrt{9 \cdot 5} = -\sqrt{45}$.
Ответ: $-\sqrt{45}$.

г) Множитель $-0,2$ отрицательный. Оставляем знак "минус" перед корнем и вносим под корень $0,2$, возведя его в квадрат:
$-0,2\sqrt{40} = -\sqrt{(0,2)^2 \cdot 40} = -\sqrt{0,04 \cdot 40} = -\sqrt{1,6}$.
Ответ: $-\sqrt{1,6}$.

д) По условию задано, что $x \ge 0$. Это означает, что множитель $x$ неотрицательный, и его можно внести под знак корня, возведя в квадрат:
$x\sqrt{3} = \sqrt{x^2 \cdot 3} = \sqrt{3x^2}$.
Ответ: $\sqrt{3x^2}$.

е) По условию задано, что $y < 0$. Это означает, что множитель $y$ отрицательный. В этом случае знак "минус" выносится за знак корня, а под корень вносится множитель $-y$, который будет положительным, возведенный в квадрат.
$y\sqrt{5} = -(-y)\sqrt{5} = -\sqrt{(-y)^2 \cdot 5} = -\sqrt{y^2 \cdot 5} = -\sqrt{5y^2}$.
Ответ: $-\sqrt{5y^2}$.

921. Упростите выражение:

а) $\sqrt{50x} + \sqrt{32x} - \sqrt{98x}$;

б) $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) - (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$;

в) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$;

г) $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y).

а) $\sqrt{50x} + \sqrt{32x} - \sqrt{98x}$

Для упрощения выражения вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим подкоренные числа в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$\sqrt{50x} = \sqrt{25 \cdot 2x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2x} = 5\sqrt{2x}$

$\sqrt{32x} = \sqrt{16 \cdot 2x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2x} = 4\sqrt{2x}$

$\sqrt{98x} = \sqrt{49 \cdot 2x} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2x} = 7\sqrt{2x}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$5\sqrt{2x} + 4\sqrt{2x} - 7\sqrt{2x}$

Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{2x}$ за скобки:

$(5 + 4 - 7)\sqrt{2x} = (9 - 7)\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}$

Ответ: $2\sqrt{2x}$

б) $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) - (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$

Упростим выражение по частям. Первая часть $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})$ является формулой разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$.

$(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = a - 2$

Теперь упростим вторую часть, раскрыв скобки: $(\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$.

$(\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{a} = a - \sqrt{2a}$

Подставим обе упрощенные части в исходное выражение:

$(a - 2) - (a - \sqrt{2a}) = a - 2 - a + \sqrt{2a} = \sqrt{2a} - 2$

Ответ: $\sqrt{2a} - 2$

в) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$

Раскроем каждую скобку, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{xy} + y$

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y$

Теперь вычтем второе раскрытое выражение из первого:

$(x + 2\sqrt{xy} + y) - (x - 2\sqrt{xy} + y) = x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y$

Приведем подобные слагаемые:

$(x-x) + (y-y) + (2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy}) = 4\sqrt{xy}$

Ответ: $4\sqrt{xy}$

г) $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Тогда $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$, $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$ и $ab = \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Таким образом, наше выражение сворачивается в $a^3 - b^3 = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$.

Упростим полученные кубы:

$(\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$

$(\sqrt{y})^3 = (\sqrt{y})^2 \cdot \sqrt{y} = y\sqrt{y}$

Итоговый результат:

$x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$

Ответ: $x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$

922. Сократите дробь:

а) $\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$;

б) $\frac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$;

в) $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$;

г) $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$;

д) $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$;

е) $\frac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$.

а) $\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Заметим, что $y = (\sqrt{y})^2$ (при $y \ge 0$). Вынесем общий множитель $\sqrt{y}$ за скобки в знаменателе:

$5\sqrt{y} + y = 5\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(5 + \sqrt{y})$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y} = \frac{5 + \sqrt{y}}{\sqrt{y}(5 + \sqrt{y})}$

Сократим общий множитель $(5 + \sqrt{y})$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $y > 0$, так как при $y=0$ знаменатель исходной дроби равен нулю.

$\frac{1}{\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

б) $\frac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 3:

$3x - 6 = 3(x - 2)$

Затем представим выражение в скобках как разность квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x - 2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$

Подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{3(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{2})$ (он всегда больше нуля при допустимых значениях $x \ge 0$):

$3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$

Ответ: $3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$

в) $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$

Преобразуем числитель. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$. Тогда числитель представляет собой разность кубов:

$a\sqrt{a} - 1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3$

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \sqrt{a}$ и $B = 1$:

$(\sqrt{a})^3 - 1^3 = (\sqrt{a} - 1)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1}$

Сократим общий множитель $(a + \sqrt{a} + 1)$. Этот множитель никогда не равен нулю при $a \ge 0$.

$\sqrt{a} - 1$

Ответ: $\sqrt{a} - 1$

г) $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$

Преобразуем знаменатель. Заметим, что $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$. Тогда знаменатель представляет собой сумму кубов:

$b\sqrt{b} + 1 = (\sqrt{b})^3 + 1^3$

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = \sqrt{b}$ и $B = 1$:

$(\sqrt{b})^3 + 1^3 = (\sqrt{b} + 1)((\sqrt{b})^2 - \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{b - \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)}$

Сократим общий множитель $(b - \sqrt{b} + 1)$. Этот множитель никогда не равен нулю при $b \ge 0$.

$\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

д) $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель является суммой кубов: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3$.

Используя формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, получаем:

$(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{y}$, учитывая, что $y = (\sqrt{y})^2$ и $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$):

$\sqrt{xy} + y = \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, и $y>0$ для знаменателя):

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$

е) $\frac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$

Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{c}$:

$c - \sqrt{cd} = (\sqrt{c})^2 - \sqrt{c}\sqrt{d} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})$

Знаменатель является разностью кубов: $c\sqrt{c} - d\sqrt{d} = (\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3$.

Используя формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, получаем:

$(\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3 = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{c} - \sqrt{d})$ (при условии $c \neq d$):

$\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$

Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$

923. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{3x}{7\sqrt{x}}; $

б) $ \frac{5}{\sqrt{ab}}; $

в) $ \frac{4}{\sqrt{c-1}}; $

г) $ \frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}. $

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3x}{7\sqrt{x}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на иррациональное выражение в знаменателе, то есть на $\sqrt{x}$. При этом значение дроби не изменится. Область допустимых значений: $x > 0$.

$\frac{3x}{7\sqrt{x}} = \frac{3x \cdot \sqrt{x}}{7\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3x\sqrt{x}}{7(\sqrt{x})^2} = \frac{3x\sqrt{x}}{7x}$

Сократим дробь на $x$, так как $x \neq 0$:

$\frac{3x\sqrt{x}}{7x} = \frac{3\sqrt{x}}{7}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{7}$

б) В дроби $\frac{5}{\sqrt{ab}}$ знаменатель содержит иррациональность $\sqrt{ab}$. Для избавления от нее домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$. Область допустимых значений: $ab > 0$.

$\frac{5}{\sqrt{ab}} = \frac{5 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{5\sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

в) В дроби $\frac{4}{\sqrt{c-1}}$ иррациональность в знаменателе — $\sqrt{c-1}$. Домножим числитель и знаменатель на это выражение. Область допустимых значений: $c-1 > 0$, то есть $c > 1$.

$\frac{4}{\sqrt{c-1}} = \frac{4 \cdot \sqrt{c-1}}{\sqrt{c-1} \cdot \sqrt{c-1}} = \frac{4\sqrt{c-1}}{(\sqrt{c-1})^2} = \frac{4\sqrt{c-1}}{c-1}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{c-1}}{c-1}$

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$ представляет собой сумму двух иррациональных выражений. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженным к выражению $2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}$ является $2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}$. При умножении мы используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$, и $2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \neq 0$ (что выполняется, если $x$ и $y$ не равны нулю одновременно).

$\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})}{(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})}$

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов:

$(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}) = (2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = 4x - 9y$

В результате получаем дробь:

$\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$

924. Докажите, что:

а) $ \frac{x - y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x} $

б) $ \frac{a - b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} - \frac{\sqrt{a}}{a} $

а)

Чтобы доказать тождество $\frac{x - y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x}$, преобразуем обе его части к одному и тому же виду.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условиями: $x > 0$, $y > 0$ (чтобы корни и знаменатели в правой части были определены) и $x\sqrt{y} - y\sqrt{x} \neq 0$, что равносильно $x \neq y$.

Начнем с преобразования левой части равенства.

1. Разложим числитель $x - y$ как разность квадратов: $x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

2. В знаменателе $x\sqrt{y} - y\sqrt{x}$ вынесем общий множитель $\sqrt{x}\sqrt{y}$: $x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y} - \sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{x - y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$

4. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$, так как из ОДЗ следует, что он не равен нулю:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}$

5. Разделим полученную дробь на два слагаемых:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства.

$\frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $\frac{a - b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} - \frac{\sqrt{a}}{a}$, также преобразуем обе его части.

Область допустимых значений (ОДЗ): $a > 0$ и $b > 0$, чтобы были определены корни и знаменатели.

Начнем с преобразования левой части равенства.

1. Разложим числитель $a - b$ как разность квадратов: $a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

2. В знаменателе $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$ вынесем общий множитель $\sqrt{a}\sqrt{b}$: $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{a - b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

4. Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, который всегда положителен при $a>0, b>0$:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}$

5. Разделим полученную дробь на два слагаемых:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства.

$\frac{\sqrt{b}}{b} - \frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2} - \frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $\frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.