Номер 922, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

922. Сократите дробь:

а) $\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$;

б) $\frac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$;

в) $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$;

г) $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$;

д) $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$;

е) $\frac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$.

а) $\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Заметим, что $y = (\sqrt{y})^2$ (при $y \ge 0$). Вынесем общий множитель $\sqrt{y}$ за скобки в знаменателе:

$5\sqrt{y} + y = 5\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(5 + \sqrt{y})$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y} = \frac{5 + \sqrt{y}}{\sqrt{y}(5 + \sqrt{y})}$

Сократим общий множитель $(5 + \sqrt{y})$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $y > 0$, так как при $y=0$ знаменатель исходной дроби равен нулю.

$\frac{1}{\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

б) $\frac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 3:

$3x - 6 = 3(x - 2)$

Затем представим выражение в скобках как разность квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x - 2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$

Подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$\frac{3(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{2})$ (он всегда больше нуля при допустимых значениях $x \ge 0$):

$3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$

Ответ: $3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$

в) $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$

Преобразуем числитель. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$. Тогда числитель представляет собой разность кубов:

$a\sqrt{a} - 1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3$

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \sqrt{a}$ и $B = 1$:

$(\sqrt{a})^3 - 1^3 = (\sqrt{a} - 1)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1}$

Сократим общий множитель $(a + \sqrt{a} + 1)$. Этот множитель никогда не равен нулю при $a \ge 0$.

$\sqrt{a} - 1$

Ответ: $\sqrt{a} - 1$

г) $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$

Преобразуем знаменатель. Заметим, что $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$. Тогда знаменатель представляет собой сумму кубов:

$b\sqrt{b} + 1 = (\sqrt{b})^3 + 1^3$

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = \sqrt{b}$ и $B = 1$:

$(\sqrt{b})^3 + 1^3 = (\sqrt{b} + 1)((\sqrt{b})^2 - \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{b - \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)}$

Сократим общий множитель $(b - \sqrt{b} + 1)$. Этот множитель никогда не равен нулю при $b \ge 0$.

$\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

д) $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель является суммой кубов: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3$.

Используя формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, получаем:

$(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{y}$, учитывая, что $y = (\sqrt{y})^2$ и $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$):

$\sqrt{xy} + y = \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, и $y>0$ для знаменателя):

$\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$

е) $\frac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$

Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{c}$:

$c - \sqrt{cd} = (\sqrt{c})^2 - \sqrt{c}\sqrt{d} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})$

Знаменатель является разностью кубов: $c\sqrt{c} - d\sqrt{d} = (\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3$.

Используя формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, получаем:

$(\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3 = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{c} - \sqrt{d})$ (при условии $c \neq d$):

$\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$

Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$