Номер 916, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

916. Докажите, что:

а) значение выражения $a^2 + 2a + 2$ ни при каком значении переменной $a$ не может быть отрицательным;

б) выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает неотрицательные значения.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $a^2 + 2a + 2$ не может быть отрицательным, преобразуем его, выделив полный квадрат. Для этого представим число $2$ в виде суммы $1+1$:
$a^2 + 2a + 2 = a^2 + 2a + 1 + 1$
Первые три слагаемых $a^2 + 2a + 1$ представляют собой формулу квадрата суммы $(a+1)^2$. Таким образом, выражение можно переписать в виде:
$(a^2 + 2a + 1) + 1 = (a+1)^2 + 1$
Теперь проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого значения переменной $a$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число $1$, то результат всегда будет положительным.
Более строго, $(a+1)^2 \ge 0$, следовательно, $(a+1)^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $(a+1)^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку значение выражения всегда больше или равно $1$, оно всегда является положительным и, следовательно, не может быть отрицательным.
Ответ: Наименьшее значение выражения равно $1$ (при $a=-1$), поэтому оно никогда не бывает отрицательным.

б) Чтобы доказать, что выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ принимает неотрицательные значения, преобразуем его, представив в виде суммы квадратов. Для этого разобьем слагаемое $2x^2$ на $x^2 + x^2$:
$2x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + x^2 - 2xy + y^2$
Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$x^2 + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + (x-y)^2$
В результате мы получили сумму двух квадратов: $x^2$ и $(x-y)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть:
$x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
$(x-y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна:
$x^2 + (x-y)^2 \ge 0$
Таким образом, значение выражения $2x^2 - 2xy + y^2$ всегда больше или равно нулю, то есть принимает неотрицательные значения при любых $x$ и $y$. Равенство нулю достигается только при $x=0$ и $y=0$.
Ответ: Выражение можно представить в виде суммы квадратов $x^2 + (x-y)^2$, которая всегда является неотрицательной.