Номер 913, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

913. Упростите выражение:

а) $ \left( \frac{7(m - 2)}{m^3 - 8} - \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4} \right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m - 3}; $

б) $ \frac{a + 5}{a^2 - 9} : \left( \frac{a + 2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a + 8)}{a^3 + 27} \right); $

В) $ \left( \frac{x + 2}{3x} - \frac{2}{x - 2} - \frac{x - 14}{3x^2 - 6x} \right) : \frac{x + 2}{6x} \cdot \frac{1}{x - 5}; $

Г) $ \left( \frac{4x}{9 - x^2} - \frac{x - 3}{9 + 3x} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} - \frac{2x}{3 - x}. $

$\left( \frac{7(m-2)}{m^3 - 8} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4} \right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3}$

1. Упростим выражение в скобках. Знаменатель первой дроби $m^3 - 8$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$m^3 - 8 = m^3 - 2^3 = (m-2)(m^2 + 2m + 4)$.

Подставим это в выражение в скобках:

$\frac{7(m-2)}{(m-2)(m^2 + 2m + 4)} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}$

Сократим $(m-2)$ в первой дроби. Так как знаменатели стали одинаковыми, вычтем числители:

$\frac{7}{m^2 + 2m + 4} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 - (m+2)}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 - m - 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4}$

2. Упростим второй множитель, вынеся общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3} = \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

Сократим общий множитель $(m^2 + 2m + 4)$:

$\frac{5 - m}{1} \cdot \frac{2}{m-3} = \frac{2(5 - m)}{m-3}$

Ответ: $\frac{2(5 - m)}{m-3}$

$\frac{a+5}{a^2-9} : \left( \frac{a+2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a+8)}{a^3 + 27} \right)$

1. Упростим выражение в скобках. Знаменатель второй дроби $a^3 + 27$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$.

Приведем дроби в скобках к этому общему знаменателю:

$\frac{(a+2)(a+3)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} - \frac{2(a+8)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{(a^2+5a+6) - (2a+16)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a^2+3a-10}{a^3+27}$

Разложим числитель на множители: $a^2+3a-10 = (a+5)(a-2)$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a+5)(a-2)}{a^3+27}$.

2. Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делимого $a^2-9$ по формуле разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$\frac{a+5}{a^2-9} : \frac{(a+5)(a-2)}{a^3+27} = \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a^3+27}{(a+5)(a-2)}$

Подставим разложение $a^3+27$ и сократим общие множители $(a+5)$ и $(a+3)$:

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a^2-3a+9)}{(a+5)(a-2)} = \frac{1}{a-3} \cdot \frac{a^2-3a+9}{a-2} = \frac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}$

Ответ: $\frac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}$

$\left( \frac{x+2}{3x} - \frac{2}{x-2} - \frac{x-14}{3x^2 - 6x} \right) : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Это будет общий знаменатель для всех дробей в скобках.

$\frac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)} - \frac{2 \cdot 3x}{3x(x-2)} - \frac{x-14}{3x(x-2)} = \frac{(x^2-4) - 6x - (x-14)}{3x(x-2)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2-4-6x-x+14}{3x(x-2)} = \frac{x^2-7x+10}{3x(x-2)}$

Разложим числитель на множители: $x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$.

$\frac{(x-2)(x-5)}{3x(x-2)}$

Сократим на $(x-2)$, получим: $\frac{x-5}{3x}$.

2. Выполним деление и умножение в порядке их следования:

$\frac{x-5}{3x} : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5} = \left(\frac{x-5}{3x} \cdot \frac{6x}{x+2}\right) \cdot \frac{1}{x-5}$

Сократим $6x$ и $3x$ в первом действии:

$\frac{2(x-5)}{x+2} \cdot \frac{1}{x-5}$

Сократим на $(x-5)$:

$\frac{2}{x+2}$

Ответ: $\frac{2}{x+2}$

$\left( \frac{4x}{9-x^2} - \frac{x-3}{9+3x} \right) \cdot \frac{18}{x+3} - \frac{2x}{3-x}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $9-x^2 = (3-x)(3+x)$ и $9+3x = 3(3+x)$.

$\frac{4x}{(3-x)(3+x)} - \frac{x-3}{3(3+x)}$

Заметим, что $x-3 = -(3-x)$. Используем это, чтобы поменять знак перед второй дробью:

$\frac{4x}{(3-x)(3+x)} + \frac{3-x}{3(3+x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $3(3-x)(3+x)$:

$\frac{4x \cdot 3}{3(3-x)(3+x)} + \frac{(3-x)(3-x)}{3(3-x)(3+x)} = \frac{12x + (3-x)^2}{3(3-x)(3+x)}$

Раскроем квадрат в числителе: $12x + (9-6x+x^2) = x^2+6x+9$. Этот трехчлен является полным квадратом: $(x+3)^2$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(x+3)^2}{3(3-x)(3+x)}$.

Сократим на $(x+3)$: $\frac{x+3}{3(3-x)}$.

2. Выполним умножение:

$\frac{x+3}{3(3-x)} \cdot \frac{18}{x+3}$

Сократим на $(x+3)$ и на 3:

$\frac{1}{3-x} \cdot \frac{18}{1} = \frac{6}{3-x}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{6}{3-x} - \frac{2x}{3-x} = \frac{6-2x}{3-x}$

Вынесем 2 за скобку в числителе:

$\frac{2(3-x)}{3-x} = 2$

Ответ: $2$