Номер 909, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

909. a) Найдите значение выражения $\frac{3x + 2y}{x}$, если известно, что $\frac{2x + 3y}{y} = 7.$

б) Найдите значение выражения $\frac{b}{a + b}$, если известно, что $\frac{4a - 5b}{b} = 3.$

а) Нам дано равенство $\frac{2x + 3y}{y} = 7$. Преобразуем его, чтобы найти соотношение между $x$ и $y$.
Разделим числитель дроби почленно на знаменатель:
$\frac{2x}{y} + \frac{3y}{y} = 7$
$\frac{2x}{y} + 3 = 7$
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\frac{2x}{y} = 7 - 3$
$\frac{2x}{y} = 4$
Разделим обе части на 2:
$\frac{x}{y} = 2$
Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти: $\frac{3x + 2y}{x}$.
Так же разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{3x}{x} + \frac{2y}{x} = 3 + 2 \cdot \frac{y}{x}$
Мы знаем, что $\frac{x}{y} = 2$. Тогда обратная дробь $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в преобразованное выражение:
$3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$
Ответ: 4

б) Нам дано равенство $\frac{4a - 5b}{b} = 3$. Преобразуем его, чтобы найти соотношение между $a$ и $b$.
Разделим числитель дроби почленно на знаменатель:
$\frac{4a}{b} - \frac{5b}{b} = 3$
$\frac{4a}{b} - 5 = 3$
Прибавим 5 к обеим частям уравнения:
$\frac{4a}{b} = 3 + 5$
$\frac{4a}{b} = 8$
Разделим обе части на 4:
$\frac{a}{b} = 2$
Теперь рассмотрим выражение, значение которого нужно найти: $\frac{b}{a + b}$.
Чтобы использовать найденное соотношение $\frac{a}{b}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $b$ (при условии, что $b \neq 0$, что следует из условия задачи):
$\frac{b \div b}{(a + b) \div b} = \frac{1}{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} = \frac{1}{\frac{a}{b} + 1}$
Теперь подставим найденное значение $\frac{a}{b} = 2$ в это выражение:
$\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$