Номер 902, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

902. Преобразуйте в многочлен:

а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$;

б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$;

в) $(5x - 1)^2 + 10x$;

г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$;

д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$;

е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$;

ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$;

з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$.

а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$

Для преобразования произведения $(x - 2y)(x + 2y)$ используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$. Применяя формулу, получаем:

$(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(x^2 - 4y^2) + 4y^2$.

Сокращаем подобные члены:

$x^2 - 4y^2 + 4y^2 = x^2$.

Ответ: $x^2$

б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$

Снова применяем формулу разности квадратов $(a' - b')(a' + b') = a'^2 - b'^2$, где $a' = 2a$ и $b' = 3b$.

$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.

Подставляем в исходное выражение:

$(4a^2 - 9b^2) - 3a^2$.

Приводим подобные слагаемые:

$4a^2 - 3a^2 - 9b^2 = a^2 - 9b^2$.

Ответ: $a^2 - 9b^2$

в) $(5x - 1)^2 + 10x$

Для раскрытия скобок $(5x - 1)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 5x$ и $b = 1$.

$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2(5x)(1) + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.

Подставляем в исходное выражение:

$(25x^2 - 10x + 1) + 10x$.

Сокращаем подобные члены:

$25x^2 - 10x + 10x + 1 = 25x^2 + 1$.

Ответ: $25x^2 + 1$

г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$

Раскрываем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3y + 4z)^2 = (3y)^2 + 2(3y)(4z) + (4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2$.

Раскрываем вторую часть выражения, используя распределительный закон:

$-8z(3y - 2z) = -8z \cdot 3y - 8z \cdot (-2z) = -24yz + 16z^2$.

Складываем полученные многочлены:

$(9y^2 + 24yz + 16z^2) + (-24yz + 16z^2) = 9y^2 + 24yz + 16z^2 - 24yz + 16z^2$.

Приводим подобные слагаемые:

$9y^2 + (24yz - 24yz) + (16z^2 + 16z^2) = 9y^2 + 32z^2$.

Ответ: $9y^2 + 32z^2$

д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$

Первая часть выражения является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае $a = m$ и $b = 2n$. Проверим: $a^2=m^2$, $ab=m(2n)=2mn$, $b^2=(2n)^2=4n^2$. Формула верна.

$(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$.

Подставляем в исходное выражение:

$(m^3 - 8n^3) + 6n^3$.

Приводим подобные слагаемые:

$m^3 - 8n^3 + 6n^3 = m^3 - 2n^3$.

Ответ: $m^3 - 2n^3$

е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$

Первая часть выражения является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Здесь $a = c^2$ и $b = 4d$. Проверим: $a^2=(c^2)^2=c^4$, $ab=(c^2)(4d)=4c^2d$, $b^2=(4d)^2=16d^2$. Формула верна.

$(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3$.

Раскрываем вторую часть выражения:

$-c^2(c^4 - 1) = -c^6 + c^2$.

Складываем результаты:

$(c^6 + 64d^3) + (-c^6 + c^2) = c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2$.

Приводим подобные слагаемые:

$(c^6 - c^6) + 64d^3 + c^2 = c^2 + 64d^3$.

Ответ: $c^2 + 64d^3$

ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$

Раскрываем первую скобку по формуле квадрата разности:

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.

Раскрываем произведение вторых скобок:

$(2x - 7y)(4x + 2y) = 2x(4x) + 2x(2y) - 7y(4x) - 7y(2y) = 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2 = 8x^2 - 24xy - 14y^2$.

Вычитаем второе выражение из первого:

$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (8x^2 - 24xy - 14y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2$.

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(9x^2 - 8x^2) + (-24xy + 24xy) + (16y^2 + 14y^2) = x^2 + 0 + 30y^2 = x^2 + 30y^2$.

Ответ: $x^2 + 30y^2$

з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$

Второе слагаемое является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a = 2x$ и $b = 3$.

$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.

Теперь преобразуем первое слагаемое. Сначала раскроем квадрат суммы:

$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Теперь умножим на $2x$:

$2x(4x^2 + 12x + 9) = 8x^3 + 24x^2 + 18x$.

Теперь вычтем второе преобразованное выражение из первого:

$(8x^3 + 24x^2 + 18x) - (8x^3 - 27) = 8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27$.

Приводим подобные слагаемые:

$(8x^3 - 8x^3) + 24x^2 + 18x + 27 = 24x^2 + 18x + 27$.

Ответ: $24x^2 + 18x + 27$