Номер 903, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

903. Найдите значение выражения:

a) $8x^2(x - 4) - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 17$ при $x = 0,5;$

б) $4a^2(3a - 2) - 3a(2a - 1)^2 - (2a - 5)(2a + 5)$ при $a = 3,3;$

в) $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) - 9x(3x^2 - b) - b^3$ при $x = -\frac{1}{3}, b = \frac{2}{3};$

г) $x(3x - 2y)(3x + 2y) - x(3x + 2y)^2 + 2xy(5x + 2y)$ при $x = 0,5, y = -1.$

а) Сначала упростим выражение, прежде чем подставлять значение переменной.Выражение $8x^2(x - 4) - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 17$.

Заметим, что часть выражения $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$.

Следовательно, $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$8x^2(x - 4) - (8x^3 - 27) - 17$

Раскроем скобки:

$8x^3 - 32x^2 - 8x^3 + 27 - 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(8x^3 - 8x^3) - 32x^2 + (27 - 17) = -32x^2 + 10$

Теперь подставим значение $x = 0,5$ в упрощенное выражение:

$-32 \cdot (0,5)^2 + 10 = -32 \cdot 0,25 + 10 = -8 + 10 = 2$

Ответ: $2$.

б) Упростим выражение $4a^2(3a - 2) - 3a(2a - 1)^2 - (2a - 5)(2a + 5)$.

Раскроем скобки и применим формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$4a^2(3a - 2) = 12a^3 - 8a^2$

$-3a(2a - 1)^2 = -3a( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 ) = -3a(4a^2 - 4a + 1) = -12a^3 + 12a^2 - 3a$

$-(2a - 5)(2a + 5) = - ( (2a)^2 - 5^2 ) = -(4a^2 - 25) = -4a^2 + 25$

Теперь сложим все полученные части:

$12a^3 - 8a^2 - 12a^3 + 12a^2 - 3a - 4a^2 + 25$

Приведем подобные слагаемые:

$(12a^3 - 12a^3) + (-8a^2 + 12a^2 - 4a^2) - 3a + 25 = 0 + 0 - 3a + 25 = -3a + 25$

Подставим значение $a = 3,3$:

$-3 \cdot 3,3 + 25 = -9,9 + 25 = 15,1$

Ответ: $15,1$.

в) Упростим выражение $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) - 9x(3x^2 - b) - b^3$.

Часть выражения $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b)$ является формулой суммы кубов: $(a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = b$.

Следовательно, $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) = (3x)^3 + b^3 = 27x^3 + b^3$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$(27x^3 + b^3) - 9x(3x^2 - b) - b^3$

Раскроем скобки:

$27x^3 + b^3 - 27x^3 + 9xb - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(27x^3 - 27x^3) + (b^3 - b^3) + 9xb = 9xb$

Теперь подставим значения $x = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{2}{3}$:

$9 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{1} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3} = - \frac{9 \cdot 1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = - \frac{18}{9} = -2$

Ответ: $-2$.

г) Упростим выражение $x(3x - 2y)(3x + 2y) - x(3x + 2y)^2 + 2xy(5x + 2y)$.

Применим формулы сокращенного умножения и раскроем скобки:

1) $x(3x - 2y)(3x + 2y) = x( (3x)^2 - (2y)^2 ) = x(9x^2 - 4y^2) = 9x^3 - 4xy^2$

2) $-x(3x + 2y)^2 = -x( (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 ) = -x(9x^2 + 12xy + 4y^2) = -9x^3 - 12x^2y - 4xy^2$

3) $2xy(5x + 2y) = 10x^2y + 4xy^2$

Сложим все части:

$(9x^3 - 4xy^2) + (-9x^3 - 12x^2y - 4xy^2) + (10x^2y + 4xy^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^3 - 9x^3) + (-12x^2y + 10x^2y) + (-4xy^2 - 4xy^2 + 4xy^2) = -2x^2y - 4xy^2$

Подставим значения $x = 0,5$ и $y = -1$:

$-2(0,5)^2(-1) - 4(0,5)(-1)^2 = -2(0,25)(-1) - 4(0,5)(1) = 0,5 - 2 = -1,5$

Ответ: $-1,5$.