Страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

900. У Маши на полке стоит 5 фотоальбомов. Когда у Маши были гости, они сняли все альбомы с полки, чтобы посмотреть фотографии. После ухода гостей Маша вернула альбомы на полку, поставив их в случайном порядке. Какова вероятность того, что альбомы на полке оказались в том же порядке, что и прежде?

Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ – общее число возможных исходов, а $m$ – число благоприятных исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

У Маши 5 фотоальбомов. Когда она ставит их на полку в случайном порядке, количество возможных вариантов их расположения равно числу перестановок из 5 элементов. Число перестановок из $k$ элементов вычисляется как $k!$ (k-факториал).

В данном случае $k=5$, поэтому общее число способов расставить альбомы:

$n = P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных способов расставить 5 альбомов на полке.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход – это тот, при котором альбомы стоят в том же порядке, что и прежде. Такой порядок только один.

Следовательно, $m = 1$.

3. Вычислим вероятность.

Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{120}$.

Ответ: Вероятность того, что альбомы на полке окажутся в том же порядке, что и прежде, равна $\frac{1}{120}$.

901. В ящике находится 4 красных и 4 жёлтых шарика. Из него не глядя вынимают 3 шарика. Какова вероятность того, что:

a) все 3 шарика красные;

б) 2 шарика красного цвета и 1 жёлтого;

в) все шарики одного цвета?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Всего в ящике находится $4 + 4 = 8$ шариков. Из них случайным образом вынимают 3 шарика. Порядок, в котором вынимают шарики, не важен, поэтому для подсчета числа исходов будем использовать сочетания.

Общее число способов вынуть 3 шарика из 8 (общее число исходов) равно числу сочетаний из 8 по 3:

$N = C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

а) все 3 шарика красные

Событие состоит в том, что все 3 вынутых шарика – красные. В ящике 4 красных шарика. Число способов выбрать 3 красных шарика из 4 (число благоприятных исходов) равно:

$m_a = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

Вероятность этого события $P(a)$ равна:

$P(a) = \frac{m_a}{N} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$

б) 2 шарика красного цвета и 1 жёлтого

Для этого события нужно выбрать 2 красных шарика из 4 и 1 жёлтый шарик из 4. Число способов выбрать 2 красных шарика из 4 равно:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Число способов выбрать 1 жёлтый шарик из 4 равно:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $m_b$ равно произведению этих двух величин:

$m_b = C_4^2 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24$.

Вероятность этого события $P(b)$ равна:

$P(b) = \frac{m_b}{N} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$

в) все шарики одного цвета

Это событие означает, что все 3 вынутых шарика либо красные, либо жёлтые. Эти два случая являются несовместными, поэтому их вероятности можно сложить.

Вероятность того, что все 3 шарика красные, мы уже нашли в пункте а): $P(\text{3 красных}) = \frac{4}{56}$.

Теперь найдем вероятность того, что все 3 шарика жёлтые. Число благоприятных исходов для этого случая (выбрать 3 жёлтых из 4) равно:

$m_{\text{жёлт}} = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.

Вероятность вынуть 3 жёлтых шарика:

$P(\text{3 жёлтых}) = \frac{m_{\text{жёлт}}}{N} = \frac{4}{56}$.

Искомая вероятность $P(c)$ равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(c) = P(\text{3 красных}) + P(\text{3 жёлтых}) = \frac{4}{56} + \frac{4}{56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

902. Преобразуйте в многочлен:

а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$;

б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$;

в) $(5x - 1)^2 + 10x$;

г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$;

д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$;

е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$;

ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$;

з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$.

а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$

Для преобразования произведения $(x - 2y)(x + 2y)$ используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$. Применяя формулу, получаем:

$(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(x^2 - 4y^2) + 4y^2$.

Сокращаем подобные члены:

$x^2 - 4y^2 + 4y^2 = x^2$.

Ответ: $x^2$

б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$

Снова применяем формулу разности квадратов $(a' - b')(a' + b') = a'^2 - b'^2$, где $a' = 2a$ и $b' = 3b$.

$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.

Подставляем в исходное выражение:

$(4a^2 - 9b^2) - 3a^2$.

Приводим подобные слагаемые:

$4a^2 - 3a^2 - 9b^2 = a^2 - 9b^2$.

Ответ: $a^2 - 9b^2$

в) $(5x - 1)^2 + 10x$

Для раскрытия скобок $(5x - 1)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 5x$ и $b = 1$.

$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2(5x)(1) + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.

Подставляем в исходное выражение:

$(25x^2 - 10x + 1) + 10x$.

Сокращаем подобные члены:

$25x^2 - 10x + 10x + 1 = 25x^2 + 1$.

Ответ: $25x^2 + 1$

г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$

Раскрываем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3y + 4z)^2 = (3y)^2 + 2(3y)(4z) + (4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2$.

Раскрываем вторую часть выражения, используя распределительный закон:

$-8z(3y - 2z) = -8z \cdot 3y - 8z \cdot (-2z) = -24yz + 16z^2$.

Складываем полученные многочлены:

$(9y^2 + 24yz + 16z^2) + (-24yz + 16z^2) = 9y^2 + 24yz + 16z^2 - 24yz + 16z^2$.

Приводим подобные слагаемые:

$9y^2 + (24yz - 24yz) + (16z^2 + 16z^2) = 9y^2 + 32z^2$.

Ответ: $9y^2 + 32z^2$

д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$

Первая часть выражения является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае $a = m$ и $b = 2n$. Проверим: $a^2=m^2$, $ab=m(2n)=2mn$, $b^2=(2n)^2=4n^2$. Формула верна.

$(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$.

Подставляем в исходное выражение:

$(m^3 - 8n^3) + 6n^3$.

Приводим подобные слагаемые:

$m^3 - 8n^3 + 6n^3 = m^3 - 2n^3$.

Ответ: $m^3 - 2n^3$

е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$

Первая часть выражения является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Здесь $a = c^2$ и $b = 4d$. Проверим: $a^2=(c^2)^2=c^4$, $ab=(c^2)(4d)=4c^2d$, $b^2=(4d)^2=16d^2$. Формула верна.

$(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3$.

Раскрываем вторую часть выражения:

$-c^2(c^4 - 1) = -c^6 + c^2$.

Складываем результаты:

$(c^6 + 64d^3) + (-c^6 + c^2) = c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2$.

Приводим подобные слагаемые:

$(c^6 - c^6) + 64d^3 + c^2 = c^2 + 64d^3$.

Ответ: $c^2 + 64d^3$

ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$

Раскрываем первую скобку по формуле квадрата разности:

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.

Раскрываем произведение вторых скобок:

$(2x - 7y)(4x + 2y) = 2x(4x) + 2x(2y) - 7y(4x) - 7y(2y) = 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2 = 8x^2 - 24xy - 14y^2$.

Вычитаем второе выражение из первого:

$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (8x^2 - 24xy - 14y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2$.

Группируем и приводим подобные слагаемые:

$(9x^2 - 8x^2) + (-24xy + 24xy) + (16y^2 + 14y^2) = x^2 + 0 + 30y^2 = x^2 + 30y^2$.

Ответ: $x^2 + 30y^2$

з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$

Второе слагаемое является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a = 2x$ и $b = 3$.

$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.

Теперь преобразуем первое слагаемое. Сначала раскроем квадрат суммы:

$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Теперь умножим на $2x$:

$2x(4x^2 + 12x + 9) = 8x^3 + 24x^2 + 18x$.

Теперь вычтем второе преобразованное выражение из первого:

$(8x^3 + 24x^2 + 18x) - (8x^3 - 27) = 8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27$.

Приводим подобные слагаемые:

$(8x^3 - 8x^3) + 24x^2 + 18x + 27 = 24x^2 + 18x + 27$.

Ответ: $24x^2 + 18x + 27$

903. Найдите значение выражения:

a) $8x^2(x - 4) - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 17$ при $x = 0,5;$

б) $4a^2(3a - 2) - 3a(2a - 1)^2 - (2a - 5)(2a + 5)$ при $a = 3,3;$

в) $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) - 9x(3x^2 - b) - b^3$ при $x = -\frac{1}{3}, b = \frac{2}{3};$

г) $x(3x - 2y)(3x + 2y) - x(3x + 2y)^2 + 2xy(5x + 2y)$ при $x = 0,5, y = -1.$

а) Сначала упростим выражение, прежде чем подставлять значение переменной.Выражение $8x^2(x - 4) - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 17$.

Заметим, что часть выражения $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$.

Следовательно, $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$8x^2(x - 4) - (8x^3 - 27) - 17$

Раскроем скобки:

$8x^3 - 32x^2 - 8x^3 + 27 - 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(8x^3 - 8x^3) - 32x^2 + (27 - 17) = -32x^2 + 10$

Теперь подставим значение $x = 0,5$ в упрощенное выражение:

$-32 \cdot (0,5)^2 + 10 = -32 \cdot 0,25 + 10 = -8 + 10 = 2$

Ответ: $2$.

б) Упростим выражение $4a^2(3a - 2) - 3a(2a - 1)^2 - (2a - 5)(2a + 5)$.

Раскроем скобки и применим формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$4a^2(3a - 2) = 12a^3 - 8a^2$

$-3a(2a - 1)^2 = -3a( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 ) = -3a(4a^2 - 4a + 1) = -12a^3 + 12a^2 - 3a$

$-(2a - 5)(2a + 5) = - ( (2a)^2 - 5^2 ) = -(4a^2 - 25) = -4a^2 + 25$

Теперь сложим все полученные части:

$12a^3 - 8a^2 - 12a^3 + 12a^2 - 3a - 4a^2 + 25$

Приведем подобные слагаемые:

$(12a^3 - 12a^3) + (-8a^2 + 12a^2 - 4a^2) - 3a + 25 = 0 + 0 - 3a + 25 = -3a + 25$

Подставим значение $a = 3,3$:

$-3 \cdot 3,3 + 25 = -9,9 + 25 = 15,1$

Ответ: $15,1$.

в) Упростим выражение $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) - 9x(3x^2 - b) - b^3$.

Часть выражения $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b)$ является формулой суммы кубов: $(a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = b$.

Следовательно, $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) = (3x)^3 + b^3 = 27x^3 + b^3$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$(27x^3 + b^3) - 9x(3x^2 - b) - b^3$

Раскроем скобки:

$27x^3 + b^3 - 27x^3 + 9xb - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$(27x^3 - 27x^3) + (b^3 - b^3) + 9xb = 9xb$

Теперь подставим значения $x = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{2}{3}$:

$9 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{1} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3} = - \frac{9 \cdot 1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = - \frac{18}{9} = -2$

Ответ: $-2$.

г) Упростим выражение $x(3x - 2y)(3x + 2y) - x(3x + 2y)^2 + 2xy(5x + 2y)$.

Применим формулы сокращенного умножения и раскроем скобки:

1) $x(3x - 2y)(3x + 2y) = x( (3x)^2 - (2y)^2 ) = x(9x^2 - 4y^2) = 9x^3 - 4xy^2$

2) $-x(3x + 2y)^2 = -x( (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 ) = -x(9x^2 + 12xy + 4y^2) = -9x^3 - 12x^2y - 4xy^2$

3) $2xy(5x + 2y) = 10x^2y + 4xy^2$

Сложим все части:

$(9x^3 - 4xy^2) + (-9x^3 - 12x^2y - 4xy^2) + (10x^2y + 4xy^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^3 - 9x^3) + (-12x^2y + 10x^2y) + (-4xy^2 - 4xy^2 + 4xy^2) = -2x^2y - 4xy^2$

Подставим значения $x = 0,5$ и $y = -1$:

$-2(0,5)^2(-1) - 4(0,5)(-1)^2 = -2(0,25)(-1) - 4(0,5)(1) = 0,5 - 2 = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

904. Докажите тождество:

а) $(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 16b^4;$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1;$

в) $(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 64;$

г) $(c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = c^4 - 5c^2 + 4.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя формулы сокращенного умножения. Сначала применим формулу разности квадратов $ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 $ к первым двум множителям:
$ (a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2 $.
Теперь подставим это выражение обратно в левую часть тождества:
$ (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) $.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$ (a^2)^2 - (4b^2)^2 = a^4 - 16b^4 $.
Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: $ (a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 16b^4 $.

б) Преобразуем левую часть выражения, последовательно применяя формулу разности квадратов $ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 $.
1. Умножим первые два множителя: $ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1 $.
Выражение примет вид: $ (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) $.
2. Теперь умножим первые два множителя нового выражения: $ (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1 $.
Выражение примет вид: $ (x^4 - 1)(x^4 + 1) $.
3. Наконец, умножим оставшиеся множители: $ (x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1 $.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $ (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1 $.

в) Для доказательства преобразуем левую часть. Перегруппируем множители для удобства применения формул суммы и разности кубов.
$ (a - 2)(a^2 + 2a + 4) \cdot (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $.
Первая группа множителей $ (a - 2)(a^2 + 2a + 4) $ соответствует формуле разности кубов $ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $, где $ x = a, y = 2 $. Получаем: $ a^3 - 2^3 = a^3 - 8 $.
Вторая группа множителей $ (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $ соответствует формуле суммы кубов $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $, где $ x = a, y = 2 $. Получаем: $ a^3 + 2^3 = a^3 + 8 $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ (a^3 - 8)(a^3 + 8) $.
Это формула разности квадратов:
$ (a^3)^2 - 8^2 = a^6 - 64 $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $ (a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = (a^3 - 8)(a^3 + 8) = a^6 - 64 $.

г) Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы можно было применить формулу разности квадратов:
$ (c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = ((c^2 - 2) - c)((c^2 - 2) + c) $.
Теперь выражение имеет вид $ (x - y)(x + y) $, где $ x = c^2 - 2 $ и $ y = c $. Применим формулу разности квадратов $ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 $:
$ (c^2 - 2)^2 - c^2 $.
Раскроем квадрат разности по формуле $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 2 + 2^2 - c^2 = c^4 - 4c^2 + 4 - c^2 $.
Приведем подобные слагаемые:
$ c^4 - (4c^2 + c^2) + 4 = c^4 - 5c^2 + 4 $.
Результат преобразования левой части совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: $ (c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = (c^2 - 2)^2 - c^2 = c^4 - 5c^2 + 4 $.

905. Разложите на множители:

а) $12x^3 - 3x^2y - 18xy^2;$

б) $42a^5 - 6a^4 + 30a^3;$

в) $8ab - 14a - 12b + 21;$

г) $x^2 - 5x - 9xy + 45y.$

а) $12x^3 - 3x^2y - 18xy^2$

Для разложения на множители данного многочлена необходимо вынести за скобки общий множитель. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 12, 3 и 18. НОД(12, 3, 18) = 3.

Затем найдем общую переменную часть. В каждом члене многочлена есть переменная $x$. Наименьшая степень $x$ в выражении – первая ($x^1$). Переменная $y$ присутствует не во всех членах, поэтому ее нельзя вынести за скобки как общий множитель.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $3x$. Вынесем его за скобки:

$12x^3 - 3x^2y - 18xy^2 = 3x(\frac{12x^3}{3x} - \frac{3x^2y}{3x} - \frac{18xy^2}{3x}) = 3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

Квадратный трехчлен в скобках $4x^2 - xy - 6y^2$ не разлагается на множители с целыми коэффициентами, поэтому это окончательный вид разложения.

Ответ: $3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

б) $42a^5 - 6a^4 + 30a^3$

Найдем общий множитель для всех членов многочлена. НОД для коэффициентов 42, 6 и 30 равен 6.

Общая переменная часть - это $a$ в наименьшей степени из присутствующих, то есть $a^3$.

Общий множитель равен $6a^3$. Вынесем его за скобки:

$42a^5 - 6a^4 + 30a^3 = 6a^3(\frac{42a^5}{6a^3} - \frac{6a^4}{6a^3} + \frac{30a^3}{6a^3}) = 6a^3(7a^2 - a + 5)$

Чтобы проверить, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $7a^2 - a + 5$, найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1 - 140 = -139$. Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители в области действительных чисел.

Ответ: $6a^3(7a^2 - a + 5)$

в) $8ab - 14a - 12b + 21$

Для разложения на множители этого многочлена используем метод группировки. Сгруппируем члены попарно. Например, первый со вторым и третий с четвертым:

$(8ab - 14a) + (-12b + 21)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы $(8ab - 14a)$ вынесем $2a$. Из второй группы $(-12b + 21)$ вынесем $-3$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе:

$2a(4b - 7) - 3(4b - 7)$

Теперь мы видим общий множитель — выражение в скобках $(4b - 7)$. Вынесем его:

$(4b - 7)(2a - 3)$

Ответ: $(4b - 7)(2a - 3)$

г) $x^2 - 5x - 9xy + 45y$

Применим метод группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(x^2 - 5x) + (-9xy + 45y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы $(x^2 - 5x)$ вынесем $x$. Из второй группы $(-9xy + 45y)$ вынесем $-9y$:

$x(x - 5) - 9y(x - 5)$

Общим множителем является выражение в скобках $(x - 5)$. Вынесем его за скобку:

$(x - 5)(x - 9y)$

Ответ: $(x - 5)(x - 9y)$

906. Разложите на множители:

а) $x^4 - 25y^2$;

б) $4b^2 - 0,01c^6$;

в) $8a^3 + c^3$;

г) $x^9 - 27$;

д) $9ab^2 - 16ac^2$;

е) $-20xy^3 + 45x^3y$.

а) $x^4 - 25y^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Для его разложения воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В нашем случае $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, значит $A = x^2$.

А $B^2 = 25y^2 = (5y)^2$, значит $B = 5y$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x^4 - 25y^2 = (x^2)^2 - (5y)^2 = (x^2-5y)(x^2+5y)$.

Ответ: $(x^2-5y)(x^2+5y)$.

б) $4b^2 - 0,01c^6$

Это выражение также является разностью квадратов. Применим ту же формулу: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Здесь $A^2 = 4b^2 = (2b)^2$, следовательно $A = 2b$.

И $B^2 = 0,01c^6 = (0,1c^3)^2$, следовательно $B = 0,1c^3$.

Подставляем в формулу:

$4b^2 - 0,01c^6 = (2b)^2 - (0,1c^3)^2 = (2b-0,1c^3)(2b+0,1c^3)$.

Ответ: $(2b-0,1c^3)(2b+0,1c^3)$.

в) $8a^3 + c^3$

Данное выражение является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Представим $8a^3$ как $(2a)^3$. В этом случае $A = 2a$.

Второе слагаемое $c^3$ дает нам $B = c$.

Подставляем значения в формулу:

$8a^3 + c^3 = (2a)^3 + c^3 = (2a+c)((2a)^2 - (2a)(c) + c^2) = (2a+c)(4a^2-2ac+c^2)$.

Ответ: $(2a+c)(4a^2-2ac+c^2)$.

г) $x^9 - 27$

Это выражение является разностью кубов. Используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Представим $x^9$ как $(x^3)^3$, тогда $A = x^3$.

Число $27$ - это $3^3$, тогда $B = 3$.

Подставляем в формулу:

$x^9 - 27 = (x^3)^3 - 3^3 = (x^3-3)((x^3)^2 + x^3 \cdot 3 + 3^2) = (x^3-3)(x^6+3x^3+9)$.

Ответ: $(x^3-3)(x^6+3x^3+9)$.

д) $9ab^2 - 16ac^2$

Первым шагом вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $a$.

$9ab^2 - 16ac^2 = a(9b^2 - 16c^2)$.

Теперь выражение в скобках $9b^2 - 16c^2$ представляет собой разность квадратов, $(3b)^2 - (4c)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=3b$ и $B=4c$.

$a(9b^2 - 16c^2) = a(3b-4c)(3b+4c)$.

Ответ: $a(3b-4c)(3b+4c)$.

е) $-20xy^3 + 45x^3y$

Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов -20 и 45 наибольший общий делитель равен 5. Для переменных общий множитель - $xy$. Итак, выносим $5xy$.

$-20xy^3 + 45x^3y = 5xy(-4y^2 + 9x^2) = 5xy(9x^2 - 4y^2)$.

Выражение в скобках $9x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов, $(3x)^2 - (2y)^2$.

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=3x$ и $B=2y$.

$5xy(9x^2 - 4y^2) = 5xy(3x-2y)(3x+2y)$.

Ответ: $5xy(3x-2y)(3x+2y)$.