Номер 901, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

901. В ящике находится 4 красных и 4 жёлтых шарика. Из него не глядя вынимают 3 шарика. Какова вероятность того, что:

a) все 3 шарика красные;

б) 2 шарика красного цвета и 1 жёлтого;

в) все шарики одного цвета?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Всего в ящике находится $4 + 4 = 8$ шариков. Из них случайным образом вынимают 3 шарика. Порядок, в котором вынимают шарики, не важен, поэтому для подсчета числа исходов будем использовать сочетания.

Общее число способов вынуть 3 шарика из 8 (общее число исходов) равно числу сочетаний из 8 по 3:

$N = C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

а) все 3 шарика красные

Событие состоит в том, что все 3 вынутых шарика – красные. В ящике 4 красных шарика. Число способов выбрать 3 красных шарика из 4 (число благоприятных исходов) равно:

$m_a = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

Вероятность этого события $P(a)$ равна:

$P(a) = \frac{m_a}{N} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$

б) 2 шарика красного цвета и 1 жёлтого

Для этого события нужно выбрать 2 красных шарика из 4 и 1 жёлтый шарик из 4. Число способов выбрать 2 красных шарика из 4 равно:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Число способов выбрать 1 жёлтый шарик из 4 равно:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $m_b$ равно произведению этих двух величин:

$m_b = C_4^2 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24$.

Вероятность этого события $P(b)$ равна:

$P(b) = \frac{m_b}{N} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$

в) все шарики одного цвета

Это событие означает, что все 3 вынутых шарика либо красные, либо жёлтые. Эти два случая являются несовместными, поэтому их вероятности можно сложить.

Вероятность того, что все 3 шарика красные, мы уже нашли в пункте а): $P(\text{3 красных}) = \frac{4}{56}$.

Теперь найдем вероятность того, что все 3 шарика жёлтые. Число благоприятных исходов для этого случая (выбрать 3 жёлтых из 4) равно:

$m_{\text{жёлт}} = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.

Вероятность вынуть 3 жёлтых шарика:

$P(\text{3 жёлтых}) = \frac{m_{\text{жёлт}}}{N} = \frac{4}{56}$.

Искомая вероятность $P(c)$ равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(c) = P(\text{3 красных}) + P(\text{3 жёлтых}) = \frac{4}{56} + \frac{4}{56} = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$