Номер 907, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

907. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $x^2 - x - 42;$

б) $y^2 + 9y + 18;$

в) $81x^2 + 18x + 1;$

г) $16b^2 - 24b + 9;$

д) $6x^2 - x - 1;$

е) $3a^2 - 13a - 10.$

а) $x^2 - x - 42$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно приравнять его к нулю и найти корни получившегося квадратного уравнения: $x^2 - x - 42 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
В нашем случае коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-42$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
$x_1 = \frac{-(-1) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-1) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Разложение на множители для квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Подставляем наши значения: $1 \cdot (x - 7)(x - (-6)) = (x-7)(x+6)$.
Ответ: $(x-7)(x+6)$.

б) $y^2 + 9y + 18$

Найдем корни уравнения $y^2 + 9y + 18 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=1$, $b=9$, $c=18$.
Можно использовать теорему Виета. Для уравнения вида $y^2+py+q=0$ сумма корней $y_1+y_2 = -p$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = q$.
В нашем случае $y_1+y_2 = -9$ и $y_1 \cdot y_2 = 18$.
Подбором находим корни: $y_1 = -3$ и $y_2 = -6$. (-3 + (-6) = -9, -3 * -6 = 18).
Разложение на множители: $(y-y_1)(y-y_2) = (y - (-3))(y - (-6)) = (y+3)(y+6)$.
Ответ: $(y+3)(y+6)$.

в) $81x^2 + 18x + 1$

Этот трехчлен является полным квадратом, так как соответствует формуле $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.
В данном случае $A^2 = 81x^2$, значит $A=9x$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 9x \cdot 1 = 18x$.
Так как все условия выполняются, мы можем свернуть трехчлен в квадрат суммы:
$81x^2 + 18x + 1 = (9x+1)^2$.
Ответ: $(9x+1)^2$.

г) $16b^2 - 24b + 9$

Этот трехчлен также является полным квадратом, но на этот раз квадратом разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
В данном случае $A^2 = 16b^2$, значит $A=4b$.
$B^2 = 9$, значит $B=3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 4b \cdot 3 = 24b$.
Знак перед средним членом отрицательный, поэтому это квадрат разности:
$16b^2 - 24b + 9 = (4b-3)^2$.
Ответ: $(4b-3)^2$.

д) $6x^2 - x - 1$

Найдем корни уравнения $6x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=-1$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{D}=5$.
Корни: $x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Разложение на множители: $a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x - \frac{1}{2})(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$.
Чтобы избавиться от дробей, представим $6$ как $2 \cdot 3$ и внесем множители в скобки:
$2 \cdot (x - \frac{1}{2}) \cdot 3 \cdot (x + \frac{1}{3}) = (2x - 1)(3x + 1)$.
Ответ: $(2x - 1)(3x + 1)$.

е) $3a^2 - 13a - 10$

Найдем корни уравнения $3a^2 - 13a - 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=-10$.
Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$. $\sqrt{D}=17$.
Корни:
$a_1 = \frac{-(-13) + 17}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
$a_2 = \frac{-(-13) - 17}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Разложение на множители: $a(a-a_1)(a-a_2) = 3(a - 5)(a - (-\frac{2}{3})) = 3(a - 5)(a + \frac{2}{3})$.
Внесем множитель 3 во вторую скобку:
$(a - 5) \cdot 3(a + \frac{2}{3}) = (a - 5)(3a + 2)$.
Ответ: $(a - 5)(3a + 2)$.