Номер 912, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

912. Упростите:

а) $\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 - 6x}{49 - x^2}$;

б) $\frac{y^3 - 16y}{2y + 18} : \frac{4 - y}{y^2 + 9y}$;

В) $\frac{(a + b)^2 - 2ab}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab}$;

Г) $\frac{5c^3 - 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 - c}{13c + 26}$.

а) Чтобы упростить выражение, заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь. Затем разложим числители и знаменатели на множители.
$\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 - 6x}{49 - x^2} = \frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} \cdot \frac{49 - x^2}{24 - 6x} = \frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(7 + x)}{6(4 - x)}$.
Сократим общие множители $x$ и $(x + 7)$. Заметим, что $x - 4 = -(4 - x)$, что позволяет нам сократить и эти множители:
$\frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(7 + x)}{6(4 - x)} = \frac{x-4}{x+7} \cdot \frac{(7-x)(7+x)}{6(4-x)} = \frac{-(4-x)}{1} \cdot \frac{7-x}{6(4-x)} = \frac{-(7-x)}{6} = \frac{x-7}{6}$.
Ответ: $\frac{x-7}{6}$.

б) Заменим деление на умножение и разложим многочлены на множители. Для числителя первой дроби используем формулу разности квадратов $y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)$.
$\frac{y^3 - 16y}{2y + 18} : \frac{4 - y}{y^2 + 9y} = \frac{y(y^2 - 16)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y^2 + 9y}{4 - y} = \frac{y(y - 4)(y + 4)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y(y + 9)}{4 - y}$.
Сократим общие множители $(y + 9)$. Учтем, что $\frac{y-4}{4-y} = -1$:
$\frac{y(y - 4)(y + 4)}{2} \cdot \frac{y}{4 - y} = \frac{y(-(4-y))(y+4)}{2} \cdot \frac{y}{4-y} = \frac{-y(y+4) \cdot y}{2} = -\frac{y^2(y+4)}{2}$.
Ответ: $-\frac{y^2(y+4)}{2}$.

в) Сначала упростим числитель первой дроби, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$.
Теперь выражение принимает вид: $\frac{a^2 + b^2}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим общие множители:
$\frac{a^2 + b^2}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{1}{4a^2} \cdot \frac{ab}{1} = \frac{ab}{4a^2} = \frac{b}{4a}$.
Ответ: $\frac{b}{4a}$.

г) Заменим деление умножением и разложим на множители все части дробей. Для числителя первой дроби используем формулу разности кубов $c^3 - 1 = (c-1)(c^2+c+1)$. Знаменатель второй дроби упростим, раскрыв скобки.
$\frac{5c^3 - 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 - c}{13c + 26} = \frac{5(c^3 - 1)}{c + 2} \cdot \frac{13c + 26}{(c + 1)^2 - c} = \frac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2} \cdot \frac{13(c+2)}{(c^2+2c+1)-c}$.
Упростим знаменатель второй дроби: $c^2+2c+1-c = c^2+c+1$.
Теперь подставим упрощенное выражение и сократим общие множители $(c+2)$ и $(c^2+c+1)$:
$\frac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2} \cdot \frac{13(c+2)}{c^2+c+1} = 5(c-1) \cdot 13 = 65(c-1)$.
Ответ: $65(c-1)$.