Номер 911, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

911. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2b + 4a^2} $

Б) $ \frac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \frac{3x - 6y}{14y^2} $

В) $ \frac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25} $

Г) $ \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \frac{3m + 6n}{2n - 3m} $

а) Чтобы представить произведение дробей в виде одной дроби, сначала разложим числители и знаменатели на множители, а затем сократим общие множители.
Исходное выражение: $\frac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2b + 4a^2}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$ab^2 - 16a = a(b^2 - 16) = a(b-4)(b+4)$.
2. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки:
$a^2b + 4a^2 = a^2(b+4)$.
3. Подставим полученные выражения обратно в произведение:
$\frac{a(b-4)(b+4)}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2(b+4)}$.
4. Сократим общие множители $a$, $(b+4)$, $5$ и $b^3$:
$\frac{\cancel{a}(b-4)\cancel{(b+4)}}{\cancel{5}\cancel{b^3}} \cdot \frac{\cancel{20}^4 b^{\cancel{5}2}}{\cancel{a^2}_a \cancel{(b+4)}} = \frac{(b-4) \cdot 4b^2}{a} = \frac{4b^2(b-4)}{a}$.
Ответ: $\frac{4b^2(b-4)}{a}$.

б) Исходное выражение: $\frac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \frac{3x - 6y}{14y^2}$.
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x)^2 - 2(x)(2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
2. Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки:
$3x - 6y = 3(x-2y)$.
3. Подставим полученные выражения в произведение:
$\frac{7xy}{(x-2y)^2} \cdot \frac{3(x-2y)}{14y^2}$.
4. Сократим общие множители $7$, $y$ и $(x-2y)$:
$\frac{\cancel{7}x\cancel{y}}{(x-2y)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(x-2y)}}{\cancel{14}_2 y^{\cancel{2}}_y} = \frac{x \cdot 3}{(x-2y) \cdot 2y} = \frac{3x}{2y(x-2y)}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y(x-2y)}$.

в) Исходное выражение: $\frac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$p^3 - 125 = p^3 - 5^3 = (p-5)(p^2 + p \cdot 5 + 5^2) = (p-5)(p^2 + 5p + 25)$.
2. Подставим полученное выражение в произведение:
$\frac{(p-5)(p^2 + 5p + 25)}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25}$.
3. Сократим общие множители $(p^2 + 5p + 25)$, $4$ и $p$:
$\frac{(p-5)\cancel{(p^2 + 5p + 25)}}{\cancel{8}_2 p^{\cancel{2}}_p} \cdot \frac{\cancel{4}\cancel{p}}{\cancel{p^2 + 5p + 25}} = \frac{p-5}{2p}$.
Ответ: $\frac{p-5}{2p}$.

г) Исходное выражение: $\frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \frac{3m + 6n}{2n - 3m}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2(3m)(2n) + (2n)^2 = (3m-2n)^2$.
2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя вынесение общего множителя и формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$3m^3 + 24n^3 = 3(m^3 + 8n^3) = 3(m^3 + (2n)^3) = 3(m+2n)(m^2 - 2mn + 4n^2)$.
3. Разложим на множители числитель второй дроби:
$3m + 6n = 3(m+2n)$.
4. Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся $-1$ за скобки:
$2n - 3m = -(3m-2n)$.
5. Подставим все разложенные выражения в произведение:
$\frac{(3m-2n)^2}{3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)} \cdot \frac{3(m+2n)}{-(3m-2n)}$.
6. Сократим общие множители $3$, $(m+2n)$ и $(3m-2n)$:
$\frac{(3m-2n)^{\cancel{2}}}{\cancel{3}\cancel{(m+2n)}(m^2-2mn+4n^2)} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{(m+2n)}}{-\cancel{(3m-2n)}} = \frac{3m-2n}{-(m^2-2mn+4n^2)} = -\frac{3m-2n}{m^2-2mn+4n^2}$.
Чтобы избавиться от знака "минус" перед дробью, умножим на него числитель:
$-\frac{3m-2n}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{-(3m-2n)}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}$.
Ответ: $\frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}$.