Номер 918, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

918. Упростите выражение:

а) $\frac{2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}};

б) $\frac{25 \cdot 4^n}{4^n - 4^{n-1}};

В) $\frac{10 \cdot 6^n}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}};

Г) $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}.

а) Для упрощения выражения $ \frac{2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1}}{3^{n-1}} $ воспользуемся свойствами степеней $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $ и $ a^{m-k} = \frac{a^m}{a^k} $.
Сначала преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $ 3^{n+1} $.
$ 2 \cdot 3^{n+2} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} - 5 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1} \cdot 3^1 - 5 \cdot 3^{n+1} = 3^{n+1} \cdot (2 \cdot 3 - 5) = 3^{n+1} \cdot (6 - 5) = 3^{n+1} \cdot 1 = 3^{n+1} $.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{3^{n+1}}{3^{n-1}} $.
Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $, получаем:
$ 3^{(n+1) - (n-1)} = 3^{n+1-n+1} = 3^2 = 9 $.
Ответ: $ 9 $.

б) Для упрощения выражения $ \frac{25 \cdot 4^n}{4^n - 4^{n-1}} $ преобразуем знаменатель.
Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель $ 4^n $:
$ 4^n - 4^{n-1} = 4^n - 4^n \cdot 4^{-1} = 4^n(1 - 4^{-1}) $.
Так как $ 4^{-1} = \frac{1}{4} $, то знаменатель равен:
$ 4^n(1 - \frac{1}{4}) = 4^n \cdot \frac{3}{4} $.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{25 \cdot 4^n}{4^n \cdot \frac{3}{4}} $.
Сократим общий множитель $ 4^n $:
$ \frac{25}{\frac{3}{4}} $.
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:
$ 25 \cdot \frac{4}{3} = \frac{100}{3} $.
Ответ: $ \frac{100}{3} $.

в) Для упрощения выражения $ \frac{10 \cdot 6^n}{2^{n+1} \cdot 3^{n-1}} $ разложим составные числа в основаниях степеней на простые множители.
$ 10 = 2 \cdot 5 $ и $ 6 = 2 \cdot 3 $.
Преобразуем числитель:
$ 10 \cdot 6^n = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)^n = 2 \cdot 5 \cdot 2^n \cdot 3^n = 2^{1+n} \cdot 5 \cdot 3^n $.
Преобразуем знаменатель:
$ 2^{n+1} \cdot 3^{n-1} = 2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 3^{-1} $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{2^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^n}{2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 3^{-1}} $.
Сократим общие множители $ 2^{n+1} $ и $ 3^n $:
$ \frac{5}{3^{-1}} $.
Так как $ a^{-k} = \frac{1}{a^k} $, то $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $.
$ \frac{5}{\frac{1}{3}} = 5 \cdot 3 = 15 $.
Ответ: $ 15 $.

г) Для упрощения выражения $ \frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n} $ разложим основание степени в знаменателе на простые множители.
$ 100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 $.
Тогда знаменатель равен:
$ 100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = (2^2)^n \cdot (5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n} $.
Теперь преобразуем числитель, используя свойства степеней:
$ 2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1} = (2^{2n} \cdot 2^{-1}) \cdot (5^{2n} \cdot 5^1) $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{2^{2n} \cdot 2^{-1} \cdot 5^{2n} \cdot 5^1}{2^{2n} \cdot 5^{2n}} $.
Сократим общие множители $ 2^{2n} $ и $ 5^{2n} $:
$ 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} = 2.5 $.
Ответ: $ 2.5 $.