Номер 923, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

923. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{3x}{7\sqrt{x}}; $

б) $ \frac{5}{\sqrt{ab}}; $

в) $ \frac{4}{\sqrt{c-1}}; $

г) $ \frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}. $

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3x}{7\sqrt{x}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на иррациональное выражение в знаменателе, то есть на $\sqrt{x}$. При этом значение дроби не изменится. Область допустимых значений: $x > 0$.

$\frac{3x}{7\sqrt{x}} = \frac{3x \cdot \sqrt{x}}{7\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3x\sqrt{x}}{7(\sqrt{x})^2} = \frac{3x\sqrt{x}}{7x}$

Сократим дробь на $x$, так как $x \neq 0$:

$\frac{3x\sqrt{x}}{7x} = \frac{3\sqrt{x}}{7}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{7}$

б) В дроби $\frac{5}{\sqrt{ab}}$ знаменатель содержит иррациональность $\sqrt{ab}$. Для избавления от нее домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$. Область допустимых значений: $ab > 0$.

$\frac{5}{\sqrt{ab}} = \frac{5 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{5\sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

в) В дроби $\frac{4}{\sqrt{c-1}}$ иррациональность в знаменателе — $\sqrt{c-1}$. Домножим числитель и знаменатель на это выражение. Область допустимых значений: $c-1 > 0$, то есть $c > 1$.

$\frac{4}{\sqrt{c-1}} = \frac{4 \cdot \sqrt{c-1}}{\sqrt{c-1} \cdot \sqrt{c-1}} = \frac{4\sqrt{c-1}}{(\sqrt{c-1})^2} = \frac{4\sqrt{c-1}}{c-1}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{c-1}}{c-1}$

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}$ представляет собой сумму двух иррациональных выражений. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженным к выражению $2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}$ является $2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}$. При умножении мы используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$, и $2\sqrt{x} + 3\sqrt{y} \neq 0$ (что выполняется, если $x$ и $y$ не равны нулю одновременно).

$\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})}{(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})}$

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов:

$(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}) = (2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2 = 4x - 9y$

В результате получаем дробь:

$\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{4x - 9y}$