Номер 921, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

921. Упростите выражение:

а) $\sqrt{50x} + \sqrt{32x} - \sqrt{98x}$;

б) $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) - (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$;

в) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$;

г) $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y).

а) $\sqrt{50x} + \sqrt{32x} - \sqrt{98x}$

Для упрощения выражения вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим подкоренные числа в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$\sqrt{50x} = \sqrt{25 \cdot 2x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2x} = 5\sqrt{2x}$

$\sqrt{32x} = \sqrt{16 \cdot 2x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2x} = 4\sqrt{2x}$

$\sqrt{98x} = \sqrt{49 \cdot 2x} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2x} = 7\sqrt{2x}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$5\sqrt{2x} + 4\sqrt{2x} - 7\sqrt{2x}$

Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{2x}$ за скобки:

$(5 + 4 - 7)\sqrt{2x} = (9 - 7)\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}$

Ответ: $2\sqrt{2x}$

б) $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) - (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$

Упростим выражение по частям. Первая часть $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})$ является формулой разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$.

$(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = a - 2$

Теперь упростим вторую часть, раскрыв скобки: $(\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$.

$(\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{a} = a - \sqrt{2a}$

Подставим обе упрощенные части в исходное выражение:

$(a - 2) - (a - \sqrt{2a}) = a - 2 - a + \sqrt{2a} = \sqrt{2a} - 2$

Ответ: $\sqrt{2a} - 2$

в) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$

Раскроем каждую скобку, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{xy} + y$

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y$

Теперь вычтем второе раскрытое выражение из первого:

$(x + 2\sqrt{xy} + y) - (x - 2\sqrt{xy} + y) = x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y$

Приведем подобные слагаемые:

$(x-x) + (y-y) + (2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy}) = 4\sqrt{xy}$

Ответ: $4\sqrt{xy}$

г) $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Тогда $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$, $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$ и $ab = \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Таким образом, наше выражение сворачивается в $a^3 - b^3 = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$.

Упростим полученные кубы:

$(\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$

$(\sqrt{y})^3 = (\sqrt{y})^2 \cdot \sqrt{y} = y\sqrt{y}$

Итоговый результат:

$x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$

Ответ: $x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$