Номер 914, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

914. Преобразуйте выражение:

а) $\frac{1}{2} + \left( \frac{3m}{1 - 3m} + \frac{2m}{3m + 1} \right) \cdot \frac{9m^2 - 6m + 1}{6m^2 + 10m};$

б) $\left( \frac{1}{x + y} - \frac{y^2}{xy^2 - x^3} \right) : \left( \frac{x - y}{x^2 + xy} - \frac{x}{y^2 + xy} \right) - \frac{x}{x + y};$

в) $\frac{2a + 3}{2a - 3} \cdot \left( \frac{2a^2 + 3a}{4a^2 + 12a + 9} - \frac{3a + 2}{2a + 3} \right) + \frac{4a - 1}{2a - 3} - \frac{a - 1}{a};$

г) $\left( \frac{a + 3}{a^2 + 2a + 1} + \frac{a - 1}{a^2 - 2a - 3} \right) \cdot \frac{a^2 - 2a - 3}{a + 2} - 1;$

д) $\frac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \frac{m^3 - 3m^2}{(m + 3)^2} \cdot \left( \frac{3m}{m^3 - 27} + \frac{1}{m - 3} \right);$

е) $\left( \frac{9x^2 + 8}{27x^3 - 1} - \frac{1}{3x - 1} + \frac{4}{9x^2 + 3x + 1} \right) \cdot \frac{3x - 1}{3x + 1}.$

а)

Выполним преобразование выражения по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель: $(1-3m)(3m+1) = 1-9m^2$.

$\frac{3m}{1-3m} + \frac{2m}{3m+1} = \frac{3m(3m+1) + 2m(1-3m)}{(1-3m)(3m+1)} = \frac{9m^2+3m+2m-6m^2}{1-9m^2} = \frac{3m^2+5m}{1-9m^2}$

2. Упростим второй множитель, разложив числитель и знаменатель на множители.

$9m^2-6m+1 = (3m-1)^2$

$6m^2+10m = 2m(3m+5)$

Получаем дробь: $\frac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}$

3. Выполним умножение. Учтем, что $1-9m^2 = -(3m-1)(3m+1)$ и $3m^2+5m = m(3m+5)$.

$\frac{m(3m+5)}{-(3m-1)(3m+1)} \cdot \frac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)} = \frac{1}{-(3m+1)} \cdot \frac{3m-1}{2} = \frac{-(3m-1)}{2(3m+1)} = \frac{1-3m}{2(3m+1)}$

4. Выполним сложение с первым слагаемым $\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} + \frac{1-3m}{2(3m+1)} = \frac{1 \cdot (3m+1) + (1-3m)}{2(3m+1)} = \frac{3m+1+1-3m}{2(3m+1)} = \frac{2}{2(3m+1)} = \frac{1}{3m+1}$

Ответ: $\frac{1}{3m+1}$

б)

Предполагая, что вычитание последней дроби является последним действием, выполним преобразования по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках (делимое).

$\frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{xy^2-x^3} = \frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{x(y^2-x^2)} = \frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{x(y-x)(y+x)} = \frac{x(y-x)-y^2}{x(y-x)(y+x)} = \frac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)}$

2. Упростим выражение во вторых скобках (делитель).

$\frac{x-y}{x^2+xy} - \frac{x}{y^2+xy} = \frac{x-y}{x(x+y)} - \frac{x}{y(y+x)} = \frac{y(x-y)-x \cdot x}{xy(x+y)} = \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)}$

3. Выполним деление.

$\frac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)} : \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)} = \frac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)} \cdot \frac{xy(x+y)}{xy-x^2-y^2} = \frac{y}{y-x}$

4. Выполним вычитание последней дроби.

$\frac{y}{y-x} - \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) - x(y-x)}{(y-x)(x+y)} = \frac{xy+y^2-xy+x^2}{y^2-x^2} = \frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$

в)

Выполним преобразования в соответствии с порядком действий (умножение, затем сложение и вычитание).

1. Упростим выражение в скобках.

$\frac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a(2a+3)}{(2a+3)^2} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a}{2a+3} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a-(3a+2)}{2a+3} = \frac{-2a-2}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a+3}$

2. Выполним умножение.

$\frac{2a+3}{2a-3} \cdot \frac{-2(a+1)}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a-3}$

3. Выполним сложение и вычитание.

$\frac{-2(a+1)}{2a-3} + \frac{4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{-2a-2+4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{2a-3}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = 1 - \frac{a-1}{a} = \frac{a-(a-1)}{a} = \frac{a-a+1}{a} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

г)

Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $a^2+2a+1=(a+1)^2$ и $a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$.

$\frac{a+3}{(a+1)^2} + \frac{a-1}{(a-3)(a+1)} = \frac{(a+3)(a-3)+(a-1)(a+1)}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{a^2-9+a^2-1}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{2a^2-10}{(a+1)^2(a-3)}$

2. Выполним умножение. Множитель $\frac{a^2-2a-3}{a+2} = \frac{(a-3)(a+1)}{a+2}$.

$\frac{2(a^2-5)}{(a+1)^2(a-3)} \cdot \frac{(a-3)(a+1)}{a+2} = \frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}$

3. Выполним вычитание.

$\frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)} - 1 = \frac{2a^2-10}{(a+1)(a+2)} - \frac{(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} = \frac{2a^2-10-(a^2+3a+2)}{a^2+3a+2} = \frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$

Ответ: $\frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$

д)

Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов: $m^3-27 = (m-3)(m^2+3m+9)$.

$\frac{3m}{m^3-27} + \frac{1}{m-3} = \frac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)} + \frac{1 \cdot (m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{3m+m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2+6m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{(m+3)^2}{m^3-27}$

2. Выполним умножение. Разложим $m^3-3m^2 = m^2(m-3)$.

$\frac{m^2(m-3)}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{m^3-27} = \frac{m^2(m-3)}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2}{m^2+3m+9}$

3. Выполним сложение.

$\frac{3(m+3)}{m^2+3m+9} + \frac{m^2}{m^2+3m+9} = \frac{3m+9+m^2}{m^2+3m+9} = \frac{m^2+3m+9}{m^2+3m+9} = 1$

Ответ: $1$

е)

Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов: $27x^3-1 = (3x-1)(9x^2+3x+1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{9x^2+8}{27x^3-1} - \frac{1}{3x-1} + \frac{4}{9x^2+3x+1} = \frac{9x^2+8 - 1(9x^2+3x+1) + 4(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$

Упростим числитель:

$9x^2+8 - 9x^2 - 3x - 1 + 12x - 4 = 9x+3 = 3(3x+1)$

Выражение в скобках равно: $\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$

2. Выполним умножение.

$\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)} \cdot \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{3}{9x^2+3x+1}$

Ответ: $\frac{3}{9x^2+3x+1}$