Номер 910, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

910. Упростите:

a) $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x^2 + 3x} - \frac{x+1}{x^2 - 9}$;

B) $\frac{a^2 + 16a + 12}{a^3 - 8} - \frac{2 - 3a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{3}{a - 2}$;

б) $\frac{2y+1}{y^2+3y} + \frac{y+2}{3y-y^2} - \frac{1}{y}$;

Г) $\frac{2}{4b^2 - 6b + 9} + \frac{4b^2 + 18}{8b^3 + 27} - \frac{1}{2b + 3}$.

а) $ \frac{2}{x^2-3x} - \frac{1}{x^2+3x} - \frac{x+1}{x^2-9} $

Сначала разложим знаменатели на множители:

$ x^2-3x = x(x-3) $

$ x^2+3x = x(x+3) $

$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $

Общий знаменатель для всех дробей: $ x(x-3)(x+3) $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{1(x-3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} $

Выполним вычитание дробей, работая с числителями:

$ \frac{2(x+3) - (x-3) - x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2x+6-x+3-x^2-x}{x(x-3)(x+3)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2x-x-x) + (6+3) - x^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{9-x^2}{x(x-3)(x+3)} $

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ 9-x^2 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3) $

Подставим и сократим дробь:

$ \frac{-(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x} $

Ответ: $ -\frac{1}{x} $

б) $ \frac{2y+1}{y^2+3y} + \frac{y+2}{3y-y^2} - \frac{1}{y} $

Разложим знаменатели на множители и преобразуем вторую дробь:

$ y^2+3y = y(y+3) $

$ 3y-y^2 = y(3-y) = -y(y-3) $. Знак "минус" вынесем перед дробью.

Выражение принимает вид:

$ \frac{2y+1}{y(y+3)} - \frac{y+2}{y(y-3)} - \frac{1}{y} $

Общий знаменатель: $ y(y-3)(y+3) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{(2y+1)(y-3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{(y+2)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{1(y-3)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} $

Объединим числители под одним знаменателем:

$ \frac{(2y+1)(y-3) - (y+2)(y+3) - (y^2-9)}{y(y^2-9)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(2y^2-6y+y-3) - (y^2+3y+2y+6) - y^2+9}{y(y^2-9)} = \frac{2y^2-5y-3 - y^2-5y-6 - y^2+9}{y(y^2-9)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2y^2-y^2-y^2) + (-5y-5y) + (-3-6+9)}{y(y^2-9)} = \frac{-10y}{y(y^2-9)} $

Сократим дробь на $ y $:

$ \frac{-10}{y^2-9} $ или $ \frac{10}{9-y^2} $

Ответ: $ \frac{-10}{y^2-9} $

в) $ \frac{a^2+16a+12}{a^3-8} - \frac{2-3a}{a^2+2a+4} - \frac{3}{a-2} $

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ a^3-8 = a^3-2^3 = (a-2)(a^2+2a+4) $

Общий знаменатель для всех дробей: $ (a-2)(a^2+2a+4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{a^2+16a+12}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{(2-3a)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Объединим числители:

$ \frac{(a^2+16a+12) - (2-3a)(a-2) - 3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{a^2+16a+12 - (2a-4-3a^2+6a) - (3a^2+6a+12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

$ \frac{a^2+16a+12 - (-3a^2+8a-4) - 3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

$ \frac{a^2+16a+12+3a^2-8a+4-3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(a^2+3a^2-3a^2) + (16a-8a-6a) + (12+4-12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Сократим дробь на $ (a^2+2a+4) $:

$ \frac{1}{a-2} $

Ответ: $ \frac{1}{a-2} $

г) $ \frac{2}{4b^2-6b+9} + \frac{4b^2+18}{8b^3+27} - \frac{1}{2b+3} $

Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $:

$ 8b^3+27 = (2b)^3+3^3 = (2b+3)(4b^2-6b+9) $

Общий знаменатель для всех дробей: $ (2b+3)(4b^2-6b+9) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} + \frac{4b^2+18}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} - \frac{1(4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Объединим числители:

$ \frac{2(2b+3) + (4b^2+18) - (4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4b+6+4b^2+18-4b^2+6b-9}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(4b^2-4b^2) + (4b+6b) + (6+18-9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} = \frac{10b+15}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Вынесем общий множитель в числителе:

$ \frac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Сократим дробь на $ (2b+3) $:

$ \frac{5}{4b^2-6b+9} $

Ответ: $ \frac{5}{4b^2-6b+9} $