Номер 917, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

917. Упростите выражение:

а) $ (4x^{-2}y^3)^2 \cdot (0,5x^2y^{-1})^3; $

б) $ (0,25a^{-3}b^4)^{-2} \cdot (2a^5b^{-6})^{-1}; $

в) $ \left(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2}\right)^4; $

г) $ \left(\frac{0,1a^{-2}}{b^{-1}c^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{b^5}{10a^4c^6}\right)^{-3}. $

а) Исходное выражение: $(4x^{-2}y^3)^2 \cdot (0,5x^2y^{-1})^3$.
Для упрощения воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Возведем в степень каждый из множителей в скобках:
Первый множитель: $(4x^{-2}y^3)^2 = 4^2 \cdot (x^{-2})^2 \cdot (y^3)^2 = 16x^{-4}y^6$.
Второй множитель: $(0,5x^2y^{-1})^3 = (0,5)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^{-1})^3 = 0,125x^6y^{-3}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$16x^{-4}y^6 \cdot 0,125x^6y^{-3}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные и применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(16 \cdot 0,125) \cdot (x^{-4} \cdot x^6) \cdot (y^6 \cdot y^{-3}) = 2 \cdot x^{-4+6} \cdot y^{6+(-3)} = 2x^2y^3$.
Ответ: $2x^2y^3$

б) Исходное выражение: $(0,25a^{-3}b^4)^{-2} \cdot (2a^5b^{-6})^{-1}$.
Представим $0,25$ как $\frac{1}{4}$ и возведем каждый множитель в соответствующую степень:
Первый множитель: $(0,25a^{-3}b^4)^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^4)^{-2} = 4^2 \cdot a^{-3 \cdot (-2)} \cdot b^{4 \cdot (-2)} = 16a^6b^{-8}$.
Второй множитель: $(2a^5b^{-6})^{-1} = 2^{-1} \cdot (a^5)^{-1} \cdot (b^{-6})^{-1} = \frac{1}{2}a^{-5}b^6$.
Перемножим полученные выражения:
$16a^6b^{-8} \cdot \frac{1}{2}a^{-5}b^6$.
Сгруппируем и упростим:
$(16 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a^6 \cdot a^{-5}) \cdot (b^{-8} \cdot b^6) = 8 \cdot a^{6-5} \cdot b^{-8+6} = 8a^1b^{-2} = 8ab^{-2}$.
Ответ: $8ab^{-2}$

в) Исходное выражение: $(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} \cdot (\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4$.
Для упрощения используем свойства степеней, включая $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Первый множитель: $(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} = (\frac{6x^2y^{-5}}{c^4})^2 = \frac{6^2(x^2)^2(y^{-5})^2}{(c^4)^2} = \frac{36x^4y^{-10}}{c^8}$.
Второй множитель: $(\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4 = (\frac{1}{3})^4 \cdot (c^2)^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^{-2})^4 = \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}$.
Перемножим результаты:
$\frac{36x^4y^{-10}}{c^8} \cdot \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}$.
Сгруппируем подобные члены:
$\frac{36}{81} \cdot \frac{c^8}{c^8} \cdot (x^4 \cdot x^{12}) \cdot (y^{-10} \cdot y^{-8})$.
Сократим дробь $\frac{36}{81} = \frac{4}{9}$ и упростим степени:
$\frac{4}{9} \cdot 1 \cdot x^{4+12} \cdot y^{-10-8} = \frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$.
Ответ: $\frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$

г) Исходное выражение: $(\frac{0,1a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 \cdot (\frac{b^5}{10a^4c^6})^{-3}$.
Упростим каждый множитель по отдельности. Заметим, что $0,1 = 10^{-1}$.
Первый множитель: $(\frac{10^{-1}a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 = \frac{(10^{-1})^5(a^{-2})^5}{(b^{-1})^5(c^3)^5} = \frac{10^{-5}a^{-10}}{b^{-5}c^{15}}$.
Второй множитель: $(\frac{b^5}{10a^4c^6})^{-3} = (\frac{10a^4c^6}{b^5})^3 = \frac{10^3(a^4)^3(c^6)^3}{(b^5)^3} = \frac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}}$.
Перемножим полученные дроби:
$\frac{10^{-5}a^{-10}}{b^{-5}c^{15}} \cdot \frac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}} = \frac{10^{-5} \cdot 10^3 \cdot a^{-10} \cdot a^{12} \cdot c^{18}}{b^{-5} \cdot b^{15} \cdot c^{15}}$.
Упростим степени, используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{-5+3} \cdot a^{-10+12} \cdot c^{18-15}}{b^{-5+15}} = \frac{10^{-2}a^2c^3}{b^{10}}$.
Так как $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01$, окончательный вид выражения:
$\frac{0,01a^2c^3}{b^{10}}$.
Ответ: $\frac{0,01a^2c^3}{b^{10}}$