Номер 919, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

919. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{98}$;

б) $\sqrt{24}$;

в) $-\sqrt{242}$;

г) $-\sqrt{75}$;

д) $0,1\sqrt{128}$;

е) $0,4\sqrt{40}$;

ж) $\sqrt{12x^2}$, где $x \ge 0$;

з) $\sqrt{18y^2}$, где $y < 0$;

и) $\sqrt{5a^4}$.

а) Чтобы вынести множитель за знак корня в выражении $\sqrt{98}$, нужно разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.
Разложим число 98 на множители: $98 = 49 \cdot 2$.
Число 49 является квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$.

б) Разложим подкоренное число 24 на множители, выделив полный квадрат.
$24 = 4 \cdot 6$.
Число 4 является квадратом числа 2 ($4 = 2^2$).
Применим свойство корня:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$.

в) Рассмотрим выражение $-\sqrt{242}$. Знак минус остается перед корнем.
Разложим подкоренное число 242 на множители: $242 = 121 \cdot 2$.
Число 121 является квадратом числа 11 ($121 = 11^2$).
Вынесем множитель из-под знака корня:
$-\sqrt{242} = -\sqrt{121 \cdot 2} = -(\sqrt{121} \cdot \sqrt{2}) = -(11\sqrt{2}) = -11\sqrt{2}$.
Ответ: $-11\sqrt{2}$.

г) Рассмотрим выражение $-\sqrt{75}$. Знак минус остается перед корнем.
Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
Число 25 является квадратом числа 5 ($25 = 5^2$).
Вынесем множитель:
$-\sqrt{75} = -\sqrt{25 \cdot 3} = -(\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}) = -(5\sqrt{3}) = -5\sqrt{3}$.
Ответ: $-5\sqrt{3}$.

д) Рассмотрим выражение $0.1\sqrt{128}$. Множитель 0,1 остается перед корнем.
Разложим подкоренное число 128 на множители: $128 = 64 \cdot 2$.
Число 64 является квадратом числа 8 ($64 = 8^2$).
Вынесем множитель из-под знака корня и умножим на коэффициент перед корнем:
$0.1\sqrt{128} = 0.1\sqrt{64 \cdot 2} = 0.1 \cdot (\sqrt{64} \cdot \sqrt{2}) = 0.1 \cdot (8\sqrt{2}) = 0.8\sqrt{2}$.
Ответ: $0.8\sqrt{2}$.

е) Рассмотрим выражение $0.4\sqrt{40}$. Множитель 0,4 остается перед корнем.
Разложим подкоренное число 40 на множители: $40 = 4 \cdot 10$.
Число 4 является квадратом числа 2 ($4 = 2^2$).
Выполним преобразование:
$0.4\sqrt{40} = 0.4\sqrt{4 \cdot 10} = 0.4 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}) = 0.4 \cdot (2\sqrt{10}) = 0.8\sqrt{10}$.
Ответ: $0.8\sqrt{10}$.

ж) Рассмотрим выражение $\sqrt{12x^2}$, где $x \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители: $12x^2 = 4 \cdot 3 \cdot x^2$.
Используем свойство корня: $\sqrt{12x^2} = \sqrt{4 \cdot x^2 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{3}$.
Мы знаем, что $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{x^2} = |x|$.
Поскольку по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Следовательно, $\sqrt{12x^2} = 2 \cdot x \cdot \sqrt{3} = 2x\sqrt{3}$.
Ответ: $2x\sqrt{3}$.

з) Рассмотрим выражение $\sqrt{18y^2}$, где $y < 0$.
Разложим подкоренное выражение: $18y^2 = 9 \cdot 2 \cdot y^2$.
Применим свойство корня: $\sqrt{18y^2} = \sqrt{9 \cdot y^2 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2}$.
Мы знаем, что $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{y^2} = |y|$.
Поскольку по условию $y < 0$, то $|y| = -y$.
Следовательно, $\sqrt{18y^2} = 3 \cdot (-y) \cdot \sqrt{2} = -3y\sqrt{2}$.
Ответ: $-3y\sqrt{2}$.

и) Рассмотрим выражение $\sqrt{5a^4}$.
Представим $a^4$ как квадрат выражения: $a^4 = (a^2)^2$.
Применим свойство корня: $\sqrt{5a^4} = \sqrt{5 \cdot (a^2)^2} = \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$, а выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
Следовательно, $\sqrt{5a^4} = a^2\sqrt{5}$.
Ответ: $a^2\sqrt{5}$.