Номер 925, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

925. Решите уравнение:

а) $3x(x - 1) - 17 = x(1 + 3x) + 1;$

б) $2x - (x + 2)(x - 2) = 5 - (x - 1)^2;$

в) $\frac{3x+1}{2} = \frac{2x-3}{5};$

г) $\frac{x-3}{6} + x = \frac{2x-1}{3} - \frac{4-x}{2}.$

а) $3x(x - 1) - 17 = x(1 + 3x) + 1$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x \cdot x - 3x \cdot 1 - 17 = x \cdot 1 + x \cdot 3x + 1$

$3x^2 - 3x - 17 = x + 3x^2 + 1$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую. Член $3x^2$ присутствует в обеих частях, поэтому он сокращается.

$3x^2 - 3x^2 - 3x - x = 1 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x = 18$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -4:

$x = \frac{18}{-4}$

$x = -4.5$

Ответ: -4.5.

б) $2x - (x + 2)(x - 2) = 5 - (x - 1)^2$

Для упрощения выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$2x - (x^2 - 4) = 5 - (x^2 - 2x + 1)$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$2x - x^2 + 4 = 5 - x^2 + 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$2x - x^2 + 4 = (5 - 1) - x^2 + 2x$

$2x - x^2 + 4 = 4 - x^2 + 2x$

Мы видим, что левая и правая части уравнения идентичны. Если перенести все члены в одну сторону, они взаимно уничтожатся:

$(2x - 2x) + (-x^2 + x^2) + (4 - 4) = 0$

$0 = 0$

Это тождество, верное для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

в) $\frac{3x + 1}{2} = \frac{2x - 3}{5}$

Это уравнение представляет собой пропорцию. Мы можем решить его, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5 \cdot (3x + 1) = 2 \cdot (2x - 3)$

Раскроем скобки:

$15x + 5 = 4x - 6$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую:

$15x - 4x = -6 - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$11x = -11$

Найдем $x$, разделив обе части на 11:

$x = \frac{-11}{11}$

$x = -1$

Ответ: -1.

г) $\frac{x - 3}{6} + x = \frac{2x - 1}{3} - \frac{4 - x}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 6, 3 и 2 равен 6.

$6 \cdot \left(\frac{x - 3}{6}\right) + 6 \cdot x = 6 \cdot \left(\frac{2x - 1}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{4 - x}{2}\right)$

Сократим дроби:

$1 \cdot (x - 3) + 6x = 2 \cdot (2x - 1) - 3 \cdot (4 - x)$

Раскроем скобки:

$x - 3 + 6x = 4x - 2 - 12 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$(x + 6x) - 3 = (4x + 3x) + (-2 - 12)$

$7x - 3 = 7x - 14$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$7x - 7x = -14 + 3$

$0 = -11$

Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.