Номер 908, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

908. Сократите дробь:

а) $\frac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2}$;

б) $\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}$;

в) $\frac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}$;

г) $\frac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b}$;

д) $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2}$;

е) $\frac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}$;

ж) $\frac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18}$;

з) $\frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1}$;

и) $\frac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10}$.

а)

Рассмотрим дробь $ \frac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2} $.
Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ 3a^2 $:
$ 21a^3 - 6a^2b = 3a^2(7a - 2b) $.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ 6a $:
$ 12ab - 42a^2 = 6a(2b - 7a) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь. Заметим, что $ (2b - 7a) = -(7a - 2b) $.
$ \frac{3a^2(7a - 2b)}{6a(2b - 7a)} = \frac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)} $.

Сократим общие множители $ 3a $ и $ (7a - 2b) $:
$ \frac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)} = \frac{a}{-2} = -\frac{a}{2} $.

Ответ: $ -\frac{a}{2} $.

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ 3m $:
$ 6m^3 + 3mn^2 = 3m(2m^2 + n^2) $.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ mn $:
$ 2m^3n + mn^3 = mn(2m^2 + n^2) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители $ m $ и $ (2m^2 + n^2) $:
$ \frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)} = \frac{3}{n} $.

Ответ: $ \frac{3}{n} $.

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m} $.

Разложим числитель на множители методом группировки:
$ x^2 - 2mx + 3x - 6m = (x^2 - 2mx) + (3x - 6m) = x(x - 2m) + 3(x - 2m) = (x + 3)(x - 2m) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки:
$ x^2 + 2mx + 3x + 6m = (x^2 + 2mx) + (3x + 6m) = x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 3)(x + 2m) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (x + 3) $:
$ \frac{(x + 3)(x - 2m)}{(x + 3)(x + 2m)} = \frac{x - 2m}{x + 2m} $.

Ответ: $ \frac{x - 2m}{x + 2m} $.

г)

Рассмотрим дробь $ \frac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b} $.

Разложим числитель на множители методом группировки:
$ 8ab + 2a - 20b - 5 = (8ab + 2a) - (20b + 5) = 2a(4b + 1) - 5(4b + 1) = (2a - 5)(4b + 1) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки:
$ 4ab - 8b^2 + a - 2b = (4ab - 8b^2) + (a - 2b) = 4b(a - 2b) + 1(a - 2b) = (4b + 1)(a - 2b) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (4b + 1) $:
$ \frac{(2a - 5)(4b + 1)}{(4b + 1)(a - 2b)} = \frac{2a - 5}{a - 2b} $.

Ответ: $ \frac{2a - 5}{a - 2b} $.

д)

Рассмотрим дробь $ \frac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2} $.

Числитель является полным квадратом разности:
$ 16a^2 - 8ab + b^2 = (4a)^2 - 2(4a)(b) + b^2 = (4a - b)^2 $.

Знаменатель является разностью квадратов:
$ 16a^2 - b^2 = (4a)^2 - b^2 = (4a - b)(4a + b) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (4a - b) $:
$ \frac{(4a - b)^2}{(4a - b)(4a + b)} = \frac{4a - b}{4a + b} $.

Ответ: $ \frac{4a - b}{4a + b} $.

е)

Рассмотрим дробь $ \frac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2} $.

Числитель является разностью квадратов:
$ 9x^2 - 25y^2 = (3x)^2 - (5y)^2 = (3x - 5y)(3x + 5y) $.

Знаменатель является полным квадратом суммы:
$ 9x^2 + 30xy + 25y^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5y) + (5y)^2 = (3x + 5y)^2 $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (3x + 5y) $:
$ \frac{(3x - 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \frac{3x - 5y}{3x + 5y} $.

Ответ: $ \frac{3x - 5y}{3x + 5y} $.

ж)

Рассмотрим дробь $ \frac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a $:
$ a^2 - 3a = a(a - 3) $.

Знаменатель — это квадратный трехчлен. Разложим его на множители. Для этого найдем корни уравнения $ a^2 + 3a - 18 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -18. Корни: $ a_1 = -6 $, $ a_2 = 3 $.
Следовательно, $ a^2 + 3a - 18 = (a - (-6))(a - 3) = (a + 6)(a - 3) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (a - 3) $:
$ \frac{a(a - 3)}{(a + 6)(a - 3)} = \frac{a}{a + 6} $.

Ответ: $ \frac{a}{a + 6} $.

з)

Рассмотрим дробь $ \frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1} $.

Разложим числитель, квадратный трехчлен $ 4x^2 - 8x + 3 $, на множители. Найдем корни уравнения $ 4x^2 - 8x + 3 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 $.
Корни: $ x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $.
Следовательно, $ 4x^2 - 8x + 3 = 4(x - \frac{1}{2})(x - \frac{3}{2}) = (2x - 1)(2x - 3) $.

Знаменатель является разностью квадратов:
$ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (2x - 1) $:
$ \frac{(2x - 1)(2x - 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2x - 3}{2x + 1} $.

Ответ: $ \frac{2x - 3}{2x + 1} $.

и)

Рассмотрим дробь $ \frac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10} $.

Разложим числитель $ m^2 + 4m - 5 $ на множители. По теореме Виета для уравнения $ m^2 + 4m - 5 = 0 $, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $ m_1 = -5 $, $ m_2 = 1 $.
Следовательно, $ m^2 + 4m - 5 = (m - (-5))(m - 1) = (m + 5)(m - 1) $.

Разложим знаменатель $ m^2 + 7m + 10 $ на множители. По теореме Виета для уравнения $ m^2 + 7m + 10 = 0 $, сумма корней равна -7, а произведение 10. Корни: $ m_1 = -5 $, $ m_2 = -2 $.
Следовательно, $ m^2 + 7m + 10 = (m - (-5))(m - (-2)) = (m + 5)(m + 2) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (m + 5) $:
$ \frac{(m + 5)(m - 1)}{(m + 5)(m + 2)} = \frac{m - 1}{m + 2} $.

Ответ: $ \frac{m - 1}{m + 2} $.