Номер 906, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

906. Разложите на множители:

а) $x^4 - 25y^2$;

б) $4b^2 - 0,01c^6$;

в) $8a^3 + c^3$;

г) $x^9 - 27$;

д) $9ab^2 - 16ac^2$;

е) $-20xy^3 + 45x^3y$.

а) $x^4 - 25y^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Для его разложения воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В нашем случае $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, значит $A = x^2$.

А $B^2 = 25y^2 = (5y)^2$, значит $B = 5y$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x^4 - 25y^2 = (x^2)^2 - (5y)^2 = (x^2-5y)(x^2+5y)$.

Ответ: $(x^2-5y)(x^2+5y)$.

б) $4b^2 - 0,01c^6$

Это выражение также является разностью квадратов. Применим ту же формулу: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Здесь $A^2 = 4b^2 = (2b)^2$, следовательно $A = 2b$.

И $B^2 = 0,01c^6 = (0,1c^3)^2$, следовательно $B = 0,1c^3$.

Подставляем в формулу:

$4b^2 - 0,01c^6 = (2b)^2 - (0,1c^3)^2 = (2b-0,1c^3)(2b+0,1c^3)$.

Ответ: $(2b-0,1c^3)(2b+0,1c^3)$.

в) $8a^3 + c^3$

Данное выражение является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Представим $8a^3$ как $(2a)^3$. В этом случае $A = 2a$.

Второе слагаемое $c^3$ дает нам $B = c$.

Подставляем значения в формулу:

$8a^3 + c^3 = (2a)^3 + c^3 = (2a+c)((2a)^2 - (2a)(c) + c^2) = (2a+c)(4a^2-2ac+c^2)$.

Ответ: $(2a+c)(4a^2-2ac+c^2)$.

г) $x^9 - 27$

Это выражение является разностью кубов. Используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.

Представим $x^9$ как $(x^3)^3$, тогда $A = x^3$.

Число $27$ - это $3^3$, тогда $B = 3$.

Подставляем в формулу:

$x^9 - 27 = (x^3)^3 - 3^3 = (x^3-3)((x^3)^2 + x^3 \cdot 3 + 3^2) = (x^3-3)(x^6+3x^3+9)$.

Ответ: $(x^3-3)(x^6+3x^3+9)$.

д) $9ab^2 - 16ac^2$

Первым шагом вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $a$.

$9ab^2 - 16ac^2 = a(9b^2 - 16c^2)$.

Теперь выражение в скобках $9b^2 - 16c^2$ представляет собой разность квадратов, $(3b)^2 - (4c)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=3b$ и $B=4c$.

$a(9b^2 - 16c^2) = a(3b-4c)(3b+4c)$.

Ответ: $a(3b-4c)(3b+4c)$.

е) $-20xy^3 + 45x^3y$

Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов -20 и 45 наибольший общий делитель равен 5. Для переменных общий множитель - $xy$. Итак, выносим $5xy$.

$-20xy^3 + 45x^3y = 5xy(-4y^2 + 9x^2) = 5xy(9x^2 - 4y^2)$.

Выражение в скобках $9x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов, $(3x)^2 - (2y)^2$.

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=3x$ и $B=2y$.

$5xy(9x^2 - 4y^2) = 5xy(3x-2y)(3x+2y)$.

Ответ: $5xy(3x-2y)(3x+2y)$.