Номер 905, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

905. Разложите на множители:

а) $12x^3 - 3x^2y - 18xy^2;$

б) $42a^5 - 6a^4 + 30a^3;$

в) $8ab - 14a - 12b + 21;$

г) $x^2 - 5x - 9xy + 45y.$

а) $12x^3 - 3x^2y - 18xy^2$

Для разложения на множители данного многочлена необходимо вынести за скобки общий множитель. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 12, 3 и 18. НОД(12, 3, 18) = 3.

Затем найдем общую переменную часть. В каждом члене многочлена есть переменная $x$. Наименьшая степень $x$ в выражении – первая ($x^1$). Переменная $y$ присутствует не во всех членах, поэтому ее нельзя вынести за скобки как общий множитель.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $3x$. Вынесем его за скобки:

$12x^3 - 3x^2y - 18xy^2 = 3x(\frac{12x^3}{3x} - \frac{3x^2y}{3x} - \frac{18xy^2}{3x}) = 3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

Квадратный трехчлен в скобках $4x^2 - xy - 6y^2$ не разлагается на множители с целыми коэффициентами, поэтому это окончательный вид разложения.

Ответ: $3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

б) $42a^5 - 6a^4 + 30a^3$

Найдем общий множитель для всех членов многочлена. НОД для коэффициентов 42, 6 и 30 равен 6.

Общая переменная часть - это $a$ в наименьшей степени из присутствующих, то есть $a^3$.

Общий множитель равен $6a^3$. Вынесем его за скобки:

$42a^5 - 6a^4 + 30a^3 = 6a^3(\frac{42a^5}{6a^3} - \frac{6a^4}{6a^3} + \frac{30a^3}{6a^3}) = 6a^3(7a^2 - a + 5)$

Чтобы проверить, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $7a^2 - a + 5$, найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1 - 140 = -139$. Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители в области действительных чисел.

Ответ: $6a^3(7a^2 - a + 5)$

в) $8ab - 14a - 12b + 21$

Для разложения на множители этого многочлена используем метод группировки. Сгруппируем члены попарно. Например, первый со вторым и третий с четвертым:

$(8ab - 14a) + (-12b + 21)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы $(8ab - 14a)$ вынесем $2a$. Из второй группы $(-12b + 21)$ вынесем $-3$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе:

$2a(4b - 7) - 3(4b - 7)$

Теперь мы видим общий множитель — выражение в скобках $(4b - 7)$. Вынесем его:

$(4b - 7)(2a - 3)$

Ответ: $(4b - 7)(2a - 3)$

г) $x^2 - 5x - 9xy + 45y$

Применим метод группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(x^2 - 5x) + (-9xy + 45y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы $(x^2 - 5x)$ вынесем $x$. Из второй группы $(-9xy + 45y)$ вынесем $-9y$:

$x(x - 5) - 9y(x - 5)$

Общим множителем является выражение в скобках $(x - 5)$. Вынесем его за скобку:

$(x - 5)(x - 9y)$

Ответ: $(x - 5)(x - 9y)$