Номер 904, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

904. Докажите тождество:

а) $(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 16b^4;$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1;$

в) $(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 64;$

г) $(c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = c^4 - 5c^2 + 4.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя формулы сокращенного умножения. Сначала применим формулу разности квадратов $ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 $ к первым двум множителям:
$ (a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2 $.
Теперь подставим это выражение обратно в левую часть тождества:
$ (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) $.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$ (a^2)^2 - (4b^2)^2 = a^4 - 16b^4 $.
Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: $ (a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 16b^4 $.

б) Преобразуем левую часть выражения, последовательно применяя формулу разности квадратов $ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 $.
1. Умножим первые два множителя: $ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1 $.
Выражение примет вид: $ (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) $.
2. Теперь умножим первые два множителя нового выражения: $ (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1 $.
Выражение примет вид: $ (x^4 - 1)(x^4 + 1) $.
3. Наконец, умножим оставшиеся множители: $ (x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1 $.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $ (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1 $.

в) Для доказательства преобразуем левую часть. Перегруппируем множители для удобства применения формул суммы и разности кубов.
$ (a - 2)(a^2 + 2a + 4) \cdot (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $.
Первая группа множителей $ (a - 2)(a^2 + 2a + 4) $ соответствует формуле разности кубов $ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $, где $ x = a, y = 2 $. Получаем: $ a^3 - 2^3 = a^3 - 8 $.
Вторая группа множителей $ (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $ соответствует формуле суммы кубов $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $, где $ x = a, y = 2 $. Получаем: $ a^3 + 2^3 = a^3 + 8 $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ (a^3 - 8)(a^3 + 8) $.
Это формула разности квадратов:
$ (a^3)^2 - 8^2 = a^6 - 64 $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $ (a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = (a^3 - 8)(a^3 + 8) = a^6 - 64 $.

г) Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы можно было применить формулу разности квадратов:
$ (c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = ((c^2 - 2) - c)((c^2 - 2) + c) $.
Теперь выражение имеет вид $ (x - y)(x + y) $, где $ x = c^2 - 2 $ и $ y = c $. Применим формулу разности квадратов $ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 $:
$ (c^2 - 2)^2 - c^2 $.
Раскроем квадрат разности по формуле $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 2 + 2^2 - c^2 = c^4 - 4c^2 + 4 - c^2 $.
Приведем подобные слагаемые:
$ c^4 - (4c^2 + c^2) + 4 = c^4 - 5c^2 + 4 $.
Результат преобразования левой части совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: $ (c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = (c^2 - 2)^2 - c^2 = c^4 - 5c^2 + 4 $.