Номер 897, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

897. У Саши в домашней библиотеке есть 10 научно-фантастических книг и 8 исторических романов. Петя хочет взять у него на летние каникулы 3 какие-нибудь научно-фантастические книги и 2 любых исторических романа. Сколько у него есть способов выбора этих книг?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество способов, которыми можно выбрать книги. Поскольку порядок выбора книг не важен, а важен лишь итоговый набор, мы будем использовать формулу для числа сочетаний из комбинаторики. Решение задачи можно разбить на два независимых действия: выбор научно-фантастических книг и выбор исторических романов.

1. Найдём количество способов выбрать 3 научно-фантастические книги.

У Саши есть 10 научно-фантастических книг, а Пете нужно выбрать из них 3. Количество способов сделать это определяется числом сочетаний из 10 по 3. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.
В данном случае $n=10$ и $k=3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать 2 исторических романа.

У Саши есть 8 исторических романов, а Пете нужно выбрать из них 2. Рассчитаем число сочетаний из 8 по 2.
Здесь $n=8$ и $k=2$:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{(2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ способов.

3. Найдём общее количество способов выбора книг.

Поскольку выбор научно-фантастических книг и выбор исторических романов являются независимыми событиями, общее количество способов выбрать желаемый набор книг равно произведению количества способов для каждого типа книг (согласно правилу произведения в комбинаторике).
Общее количество способов = (Количество способов выбрать фантастику) × (Количество способов выбрать романы).
$N = C_{10}^3 \cdot C_8^2 = 120 \cdot 28 = 3360$.

Ответ: 3360.