Номер 896, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

896. В секции по плаванию занимается 12 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них:

а) четырёх человек для предстоящих городских соревнований;

б) команду для участия в эстафете $4 \times 100$ м, определив порядок выступления спортсменов на всех четырёх этапах?

В этой задаче мы имеем дело с выбором элементов из множества. В зависимости от того, важен ли порядок выбираемых элементов, мы будем использовать формулы для сочетаний или размещений.

Общее количество спортсменов в секции $n = 12$.

а) четырёх человек для предстоящих городских соревнований;

В этом случае нам нужно выбрать 4 человека из 12, и порядок, в котором мы их выбираем, не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n=12$ (общее число пловцов), а $k=4$ (число пловцов, которых нужно выбрать).

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!}$

Сокращаем $8!$ в числителе и знаменателе:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Таким образом, существует 495 способов выбрать 4 спортсменов для соревнований.

Ответ: 495 способов.

б) команду для участия в эстафете 4 × 100 м, определив порядок выступления спортсменов на всех четырёх этапах?

Здесь нам нужно не только выбрать 4 человека из 12, но и распределить их по четырём этапам эстафеты. Поскольку важен порядок выступления спортсменов (кто плывет на первом этапе, кто на втором и т.д.), эта задача на нахождение числа размещений. Мы используем формулу для числа размещений из $n$ по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n=12$ и $k=4$.

Подставляем значения:

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880$

Можно рассуждать и по-другому:

• На первый этап эстафеты можно выбрать любого из 12 спортсменов (12 вариантов).
• На второй этап — любого из оставшихся 11 спортсменов (11 вариантов).
• На третий этап — любого из оставшихся 10 (10 вариантов).
• На четвертый этап — любого из оставшихся 9 (9 вариантов).

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого этапа:

$12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880$

Таким образом, существует 11880 способов составить команду для эстафеты.

Ответ: 11880 способов.