Номер 892, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

892. Найдите значение выражения:

а) $\frac{20!}{18!};$

б) $\frac{7!}{10!};$

в) $\frac{50!}{49!};$

г) $\frac{10!}{5! \cdot 5!};$

д) $\frac{12!}{9! \cdot 3!}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{20!}{18!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$. Заметим, что $20!$ можно представить как произведение $20 \cdot 19 \cdot 18!$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{20!}{18!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!}$
Теперь можно сократить $18!$ в числителе и знаменателе. В результате получим:
$20 \cdot 19 = 380$.
Ответ: 380

б) Рассмотрим выражение $\frac{7!}{10!}$. В данном случае больший факториал находится в знаменателе. Распишем $10!$ как $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$.
Подставим это в выражение:
$\frac{7!}{10!} = \frac{7!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}$
Сократим $7!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{720}$.
Ответ: $\frac{1}{720}$

в) Найдем значение выражения $\frac{50!}{49!}$. Аналогично пункту а), представим $50!$ как $50 \cdot 49!$.
$\frac{50!}{49!} = \frac{50 \cdot 49!}{49!}$
Сокращаем $49!$ и получаем:
$50$.
Ответ: 50

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{10!}{5! \cdot 5!}$, распишем числитель до ближайшего факториала в знаменателе, то есть до $5!$:
$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$
Теперь подставим это в дробь:
$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5!}$
Распишем $5!$ в знаменателе: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Произведем сокращение дроби:
$\frac{10}{5 \cdot 2} = 1$; $\frac{8}{4} = 2$; $\frac{9}{3} = 3$.
В результате получаем произведение оставшихся множителей:
$3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 6 = 252$.
Ответ: 252

д) Найдем значение выражения $\frac{12!}{9! \cdot 3!}$. Распишем $12!$ как $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$.
$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 3!}$
Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!}$
Распишем $3!$ в знаменателе: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6}$
Сократим 12 и 6:
$2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.
Ответ: 220