Номер 891, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

891. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если $x_2 = -32$ и $q = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых десяти членов геометрической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или эквивалентной ей $S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

В условии задачи даны второй член прогрессии $x_2 = -32$ и ее знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Для расчета суммы нам необходим первый член прогрессии $x_1$.

Найдем $x_1$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=2$ имеем:

$x_2 = x_1 \cdot q^{2-1} = x_1 \cdot q$

Подставим известные значения:

$-32 = x_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

Выразим и найдем $x_1$:

$x_1 = \frac{-32}{-\frac{1}{2}} = -32 \cdot (-2) = 64$

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета суммы первых десяти членов ($n=10$):

• $x_1 = 64$
• $q = -\frac{1}{2}$
• $n = 10$

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{x_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{64 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}$

Проведем вычисления по шагам. Сначала вычислим $q^{10}$:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{(-1)^{10}}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель дроби в формуле суммы:

Числитель: $64 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 64 \cdot \left(\frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}\right) = 64 \cdot \frac{1023}{1024}$

Знаменатель: $1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}} = \left(64 \cdot \frac{1023}{1024}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{64 \cdot 1023 \cdot 2}{1024 \cdot 3}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $1024 = 64 \cdot 16$ и $1023 = 3 \cdot 341$:

$S_{10} = \frac{64 \cdot (3 \cdot 341) \cdot 2}{(64 \cdot 16) \cdot 3} = \frac{341 \cdot 2}{16} = \frac{341}{8}$

Полученный результат можно представить в виде смешанного числа $42\frac{5}{8}$ или десятичной дроби $42.625$.

Ответ: $\frac{341}{8}$