Номер 893, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

893. Сравните числа:

а) $\frac{3!}{6!}$ и $10^{-2}$;

б) $\frac{15!}{10!}$ и $10^5$.

а) Сравним числа $\frac{3!}{6!}$ и $10^{-2}$.

Для начала преобразуем оба выражения к более простому виду.

Упростим первое число, используя определение факториала ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$):

$\frac{3!}{6!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$

Сократив дробь на $3!$, получаем:

$\frac{1}{4 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{1}{20 \cdot 6} = \frac{1}{120}$

Теперь преобразуем второе число:

$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$

Теперь необходимо сравнить две дроби: $\frac{1}{120}$ и $\frac{1}{100}$.

При сравнении дробей с одинаковыми числителями (в нашем случае числитель равен 1), большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Сравним знаменатели: $120 > 100$.

Следовательно, $\frac{1}{120} < \frac{1}{100}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\frac{3!}{6!} < 10^{-2}$.

Ответ: $\frac{3!}{6!} < 10^{-2}$

б) Сравним числа $\frac{15!}{10!}$ и $10^5$.

Упростим первое число, используя свойство факториала $\frac{n!}{k!} = (k+1) \cdot \dots \cdot n$ при $n > k$:

$\frac{15!}{10!} = \frac{10! \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{10!} = 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15$

Второе число равно $10^5$, что представляет собой произведение пяти десяток:

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Теперь сравним два произведения: $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15$ и $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$.

Каждый из пяти множителей в первом произведении ($11, 12, 13, 14, 15$) больше соответствующего множителя во втором произведении (каждый из которых равен $10$).

$11 > 10$

$12 > 10$

$13 > 10$

$14 > 10$

$15 > 10$

Поскольку каждый множитель первого числа больше каждого соответствующего множителя второго числа, то и все произведение будет больше:

$11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 > 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Для дополнительной проверки можно вычислить точное значение первого выражения:

$11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 360360$

Сравниваем полученный результат с $10^5 = 100000$:

$360360 > 100000$

Это подтверждает наш вывод. Следовательно, $\frac{15!}{10!} > 10^5$.

Ответ: $\frac{15!}{10!} > 10^5$