Номер 894, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

894. Сколько пятизначных чисел, в которых все цифры разные, можно составить из цифр:

а) $1, 3, 5, 7, 9$;

б) $0, 2, 4, 6, 8$?

Для решения этой задачи используется комбинаторная формула для числа перестановок, так как порядок цифр в числе важен, и все цифры в числе должны быть разными.

а) Дан набор из пяти различных ненулевых цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Необходимо составить пятизначное число, используя все эти цифры. Поскольку все цифры должны быть разными, мы должны использовать каждую цифру из набора ровно один раз.
Количество способов расположить 5 различных элементов по 5 позициям равно числу перестановок из 5 элементов ($P_5$).
Формула для числа перестановок из n элементов: $P_n = n!$
В нашем случае n = 5, поэтому количество возможных чисел:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Таким образом, можно составить 120 различных пятизначных чисел.
Ответ: 120.

б) Дан набор из пяти различных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Особенность этого набора в том, что в нем есть цифра 0.
Пятизначное число не может начинаться с нуля, иначе оно будет четырехзначным.
Рассмотрим 5 позиций в числе: _ _ _ _ _
1. На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую цифру, кроме нуля. У нас есть 4 варианта: 2, 4, 6, 8.
2. На вторую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр (теперь мы можем использовать 0).
3. На третью позицию (разряд сотен) остается 3 варианта.
4. На четвертую позицию (разряд десятков) — 2 варианта.
5. На пятую позицию (разряд единиц) — 1 оставшаяся цифра.
Используя правило умножения, найдем общее количество комбинаций:
$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Альтернативный способ решения:
Можно найти общее количество перестановок всех 5 цифр, а затем вычесть те перестановки, которые начинаются с нуля.
1. Общее число перестановок из 5 цифр: $P_5 = 5! = 120$.
2. Число перестановок, где 0 стоит на первом месте. Если мы зафиксируем 0 на первой позиции, то остальные 4 цифры {2, 4, 6, 8} можно расставить на оставшихся 4 позициях $P_4 = 4!$ способами.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
3. Искомое количество пятизначных чисел равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, начинающихся с нуля:
$120 - 24 = 96$.
Ответ: 96.