Номер 884, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

884. Докажите, что:

a) $\frac{\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}$;

б) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}} - \sqrt{7-\sqrt{24}}} = \sqrt{0,4}$.

а) Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}$ преобразуем его левую часть.

Используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для числителя дроби:

$\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3} = \sqrt{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)}$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=\sqrt{18}$ и $y=3$. Применим её:

$(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3) = (\sqrt{18})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9$

Таким образом, числитель равен $\sqrt{9}=3$.

Теперь вся левая часть выглядит так: $\frac{3}{\sqrt{6}}$.

Чтобы сравнить это выражение с правой частью, представим его в виде одного корня. Для этого запишем числитель как $\sqrt{9}$:

$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}}$

Сократим дробь под корнем:

$\sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5}$

Мы показали, что левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\frac{\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}$ доказано.

б) Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{24}}} = \sqrt{0,4}$ преобразуем его левую часть.

Начнем с преобразования знаменателя, используя свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{7+\sqrt{24}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{24}} = \sqrt{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})}$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=7$ и $y=\sqrt{24}$. Применим её:

$(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24}) = 7^2 - (\sqrt{24})^2 = 49 - 24 = 25$

Значит, знаменатель равен $\sqrt{25}=5$.

Теперь вся левая часть выглядит так: $\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Чтобы сравнить это выражение с правой частью, представим его в виде одного корня. Для этого запишем знаменатель как $\sqrt{25}$:

$\frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\frac{10}{25}}$

Сократим дробь под корнем:

$\sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{0,4}$

Мы показали, что левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{24}}} = \sqrt{0,4}$ доказано.