Страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

907. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $x^2 - x - 42;$

б) $y^2 + 9y + 18;$

в) $81x^2 + 18x + 1;$

г) $16b^2 - 24b + 9;$

д) $6x^2 - x - 1;$

е) $3a^2 - 13a - 10.$

а) $x^2 - x - 42$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно приравнять его к нулю и найти корни получившегося квадратного уравнения: $x^2 - x - 42 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
В нашем случае коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-42$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
$x_1 = \frac{-(-1) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-1) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Разложение на множители для квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Подставляем наши значения: $1 \cdot (x - 7)(x - (-6)) = (x-7)(x+6)$.
Ответ: $(x-7)(x+6)$.

б) $y^2 + 9y + 18$

Найдем корни уравнения $y^2 + 9y + 18 = 0$.
Здесь коэффициенты $a=1$, $b=9$, $c=18$.
Можно использовать теорему Виета. Для уравнения вида $y^2+py+q=0$ сумма корней $y_1+y_2 = -p$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = q$.
В нашем случае $y_1+y_2 = -9$ и $y_1 \cdot y_2 = 18$.
Подбором находим корни: $y_1 = -3$ и $y_2 = -6$. (-3 + (-6) = -9, -3 * -6 = 18).
Разложение на множители: $(y-y_1)(y-y_2) = (y - (-3))(y - (-6)) = (y+3)(y+6)$.
Ответ: $(y+3)(y+6)$.

в) $81x^2 + 18x + 1$

Этот трехчлен является полным квадратом, так как соответствует формуле $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.
В данном случае $A^2 = 81x^2$, значит $A=9x$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 9x \cdot 1 = 18x$.
Так как все условия выполняются, мы можем свернуть трехчлен в квадрат суммы:
$81x^2 + 18x + 1 = (9x+1)^2$.
Ответ: $(9x+1)^2$.

г) $16b^2 - 24b + 9$

Этот трехчлен также является полным квадратом, но на этот раз квадратом разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
В данном случае $A^2 = 16b^2$, значит $A=4b$.
$B^2 = 9$, значит $B=3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 4b \cdot 3 = 24b$.
Знак перед средним членом отрицательный, поэтому это квадрат разности:
$16b^2 - 24b + 9 = (4b-3)^2$.
Ответ: $(4b-3)^2$.

д) $6x^2 - x - 1$

Найдем корни уравнения $6x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=-1$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{D}=5$.
Корни: $x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Разложение на множители: $a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x - \frac{1}{2})(x - (-\frac{1}{3})) = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3})$.
Чтобы избавиться от дробей, представим $6$ как $2 \cdot 3$ и внесем множители в скобки:
$2 \cdot (x - \frac{1}{2}) \cdot 3 \cdot (x + \frac{1}{3}) = (2x - 1)(3x + 1)$.
Ответ: $(2x - 1)(3x + 1)$.

е) $3a^2 - 13a - 10$

Найдем корни уравнения $3a^2 - 13a - 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=-10$.
Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$. $\sqrt{D}=17$.
Корни:
$a_1 = \frac{-(-13) + 17}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
$a_2 = \frac{-(-13) - 17}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Разложение на множители: $a(a-a_1)(a-a_2) = 3(a - 5)(a - (-\frac{2}{3})) = 3(a - 5)(a + \frac{2}{3})$.
Внесем множитель 3 во вторую скобку:
$(a - 5) \cdot 3(a + \frac{2}{3}) = (a - 5)(3a + 2)$.
Ответ: $(a - 5)(3a + 2)$.

908. Сократите дробь:

а) $\frac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2}$;

б) $\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}$;

в) $\frac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}$;

г) $\frac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b}$;

д) $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2}$;

е) $\frac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}$;

ж) $\frac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18}$;

з) $\frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1}$;

и) $\frac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10}$.

а)

Рассмотрим дробь $ \frac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2} $.
Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ 3a^2 $:
$ 21a^3 - 6a^2b = 3a^2(7a - 2b) $.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ 6a $:
$ 12ab - 42a^2 = 6a(2b - 7a) $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь. Заметим, что $ (2b - 7a) = -(7a - 2b) $.
$ \frac{3a^2(7a - 2b)}{6a(2b - 7a)} = \frac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)} $.

Сократим общие множители $ 3a $ и $ (7a - 2b) $:
$ \frac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)} = \frac{a}{-2} = -\frac{a}{2} $.

Ответ: $ -\frac{a}{2} $.

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ 3m $:
$ 6m^3 + 3mn^2 = 3m(2m^2 + n^2) $.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ mn $:
$ 2m^3n + mn^3 = mn(2m^2 + n^2) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители $ m $ и $ (2m^2 + n^2) $:
$ \frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)} = \frac{3}{n} $.

Ответ: $ \frac{3}{n} $.

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m} $.

Разложим числитель на множители методом группировки:
$ x^2 - 2mx + 3x - 6m = (x^2 - 2mx) + (3x - 6m) = x(x - 2m) + 3(x - 2m) = (x + 3)(x - 2m) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки:
$ x^2 + 2mx + 3x + 6m = (x^2 + 2mx) + (3x + 6m) = x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 3)(x + 2m) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (x + 3) $:
$ \frac{(x + 3)(x - 2m)}{(x + 3)(x + 2m)} = \frac{x - 2m}{x + 2m} $.

Ответ: $ \frac{x - 2m}{x + 2m} $.

г)

Рассмотрим дробь $ \frac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b} $.

Разложим числитель на множители методом группировки:
$ 8ab + 2a - 20b - 5 = (8ab + 2a) - (20b + 5) = 2a(4b + 1) - 5(4b + 1) = (2a - 5)(4b + 1) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки:
$ 4ab - 8b^2 + a - 2b = (4ab - 8b^2) + (a - 2b) = 4b(a - 2b) + 1(a - 2b) = (4b + 1)(a - 2b) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (4b + 1) $:
$ \frac{(2a - 5)(4b + 1)}{(4b + 1)(a - 2b)} = \frac{2a - 5}{a - 2b} $.

Ответ: $ \frac{2a - 5}{a - 2b} $.

д)

Рассмотрим дробь $ \frac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2} $.

Числитель является полным квадратом разности:
$ 16a^2 - 8ab + b^2 = (4a)^2 - 2(4a)(b) + b^2 = (4a - b)^2 $.

Знаменатель является разностью квадратов:
$ 16a^2 - b^2 = (4a)^2 - b^2 = (4a - b)(4a + b) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (4a - b) $:
$ \frac{(4a - b)^2}{(4a - b)(4a + b)} = \frac{4a - b}{4a + b} $.

Ответ: $ \frac{4a - b}{4a + b} $.

е)

Рассмотрим дробь $ \frac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2} $.

Числитель является разностью квадратов:
$ 9x^2 - 25y^2 = (3x)^2 - (5y)^2 = (3x - 5y)(3x + 5y) $.

Знаменатель является полным квадратом суммы:
$ 9x^2 + 30xy + 25y^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5y) + (5y)^2 = (3x + 5y)^2 $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (3x + 5y) $:
$ \frac{(3x - 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2} = \frac{3x - 5y}{3x + 5y} $.

Ответ: $ \frac{3x - 5y}{3x + 5y} $.

ж)

Рассмотрим дробь $ \frac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a $:
$ a^2 - 3a = a(a - 3) $.

Знаменатель — это квадратный трехчлен. Разложим его на множители. Для этого найдем корни уравнения $ a^2 + 3a - 18 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -18. Корни: $ a_1 = -6 $, $ a_2 = 3 $.
Следовательно, $ a^2 + 3a - 18 = (a - (-6))(a - 3) = (a + 6)(a - 3) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (a - 3) $:
$ \frac{a(a - 3)}{(a + 6)(a - 3)} = \frac{a}{a + 6} $.

Ответ: $ \frac{a}{a + 6} $.

з)

Рассмотрим дробь $ \frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1} $.

Разложим числитель, квадратный трехчлен $ 4x^2 - 8x + 3 $, на множители. Найдем корни уравнения $ 4x^2 - 8x + 3 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 $.
Корни: $ x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $.
Следовательно, $ 4x^2 - 8x + 3 = 4(x - \frac{1}{2})(x - \frac{3}{2}) = (2x - 1)(2x - 3) $.

Знаменатель является разностью квадратов:
$ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (2x - 1) $:
$ \frac{(2x - 1)(2x - 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2x - 3}{2x + 1} $.

Ответ: $ \frac{2x - 3}{2x + 1} $.

и)

Рассмотрим дробь $ \frac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10} $.

Разложим числитель $ m^2 + 4m - 5 $ на множители. По теореме Виета для уравнения $ m^2 + 4m - 5 = 0 $, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $ m_1 = -5 $, $ m_2 = 1 $.
Следовательно, $ m^2 + 4m - 5 = (m - (-5))(m - 1) = (m + 5)(m - 1) $.

Разложим знаменатель $ m^2 + 7m + 10 $ на множители. По теореме Виета для уравнения $ m^2 + 7m + 10 = 0 $, сумма корней равна -7, а произведение 10. Корни: $ m_1 = -5 $, $ m_2 = -2 $.
Следовательно, $ m^2 + 7m + 10 = (m - (-5))(m - (-2)) = (m + 5)(m + 2) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (m + 5) $:
$ \frac{(m + 5)(m - 1)}{(m + 5)(m + 2)} = \frac{m - 1}{m + 2} $.

Ответ: $ \frac{m - 1}{m + 2} $.

909. a) Найдите значение выражения $\frac{3x + 2y}{x}$, если известно, что $\frac{2x + 3y}{y} = 7.$

б) Найдите значение выражения $\frac{b}{a + b}$, если известно, что $\frac{4a - 5b}{b} = 3.$

а) Нам дано равенство $\frac{2x + 3y}{y} = 7$. Преобразуем его, чтобы найти соотношение между $x$ и $y$.
Разделим числитель дроби почленно на знаменатель:
$\frac{2x}{y} + \frac{3y}{y} = 7$
$\frac{2x}{y} + 3 = 7$
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\frac{2x}{y} = 7 - 3$
$\frac{2x}{y} = 4$
Разделим обе части на 2:
$\frac{x}{y} = 2$
Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти: $\frac{3x + 2y}{x}$.
Так же разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{3x}{x} + \frac{2y}{x} = 3 + 2 \cdot \frac{y}{x}$
Мы знаем, что $\frac{x}{y} = 2$. Тогда обратная дробь $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в преобразованное выражение:
$3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$
Ответ: 4

б) Нам дано равенство $\frac{4a - 5b}{b} = 3$. Преобразуем его, чтобы найти соотношение между $a$ и $b$.
Разделим числитель дроби почленно на знаменатель:
$\frac{4a}{b} - \frac{5b}{b} = 3$
$\frac{4a}{b} - 5 = 3$
Прибавим 5 к обеим частям уравнения:
$\frac{4a}{b} = 3 + 5$
$\frac{4a}{b} = 8$
Разделим обе части на 4:
$\frac{a}{b} = 2$
Теперь рассмотрим выражение, значение которого нужно найти: $\frac{b}{a + b}$.
Чтобы использовать найденное соотношение $\frac{a}{b}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $b$ (при условии, что $b \neq 0$, что следует из условия задачи):
$\frac{b \div b}{(a + b) \div b} = \frac{1}{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} = \frac{1}{\frac{a}{b} + 1}$
Теперь подставим найденное значение $\frac{a}{b} = 2$ в это выражение:
$\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

910. Упростите:

a) $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x^2 + 3x} - \frac{x+1}{x^2 - 9}$;

B) $\frac{a^2 + 16a + 12}{a^3 - 8} - \frac{2 - 3a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{3}{a - 2}$;

б) $\frac{2y+1}{y^2+3y} + \frac{y+2}{3y-y^2} - \frac{1}{y}$;

Г) $\frac{2}{4b^2 - 6b + 9} + \frac{4b^2 + 18}{8b^3 + 27} - \frac{1}{2b + 3}$.

а) $ \frac{2}{x^2-3x} - \frac{1}{x^2+3x} - \frac{x+1}{x^2-9} $

Сначала разложим знаменатели на множители:

$ x^2-3x = x(x-3) $

$ x^2+3x = x(x+3) $

$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $

Общий знаменатель для всех дробей: $ x(x-3)(x+3) $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{1(x-3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} $

Выполним вычитание дробей, работая с числителями:

$ \frac{2(x+3) - (x-3) - x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2x+6-x+3-x^2-x}{x(x-3)(x+3)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2x-x-x) + (6+3) - x^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{9-x^2}{x(x-3)(x+3)} $

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ 9-x^2 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3) $

Подставим и сократим дробь:

$ \frac{-(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x} $

Ответ: $ -\frac{1}{x} $

б) $ \frac{2y+1}{y^2+3y} + \frac{y+2}{3y-y^2} - \frac{1}{y} $

Разложим знаменатели на множители и преобразуем вторую дробь:

$ y^2+3y = y(y+3) $

$ 3y-y^2 = y(3-y) = -y(y-3) $. Знак "минус" вынесем перед дробью.

Выражение принимает вид:

$ \frac{2y+1}{y(y+3)} - \frac{y+2}{y(y-3)} - \frac{1}{y} $

Общий знаменатель: $ y(y-3)(y+3) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{(2y+1)(y-3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{(y+2)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{1(y-3)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} $

Объединим числители под одним знаменателем:

$ \frac{(2y+1)(y-3) - (y+2)(y+3) - (y^2-9)}{y(y^2-9)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(2y^2-6y+y-3) - (y^2+3y+2y+6) - y^2+9}{y(y^2-9)} = \frac{2y^2-5y-3 - y^2-5y-6 - y^2+9}{y(y^2-9)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(2y^2-y^2-y^2) + (-5y-5y) + (-3-6+9)}{y(y^2-9)} = \frac{-10y}{y(y^2-9)} $

Сократим дробь на $ y $:

$ \frac{-10}{y^2-9} $ или $ \frac{10}{9-y^2} $

Ответ: $ \frac{-10}{y^2-9} $

в) $ \frac{a^2+16a+12}{a^3-8} - \frac{2-3a}{a^2+2a+4} - \frac{3}{a-2} $

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ a^3-8 = a^3-2^3 = (a-2)(a^2+2a+4) $

Общий знаменатель для всех дробей: $ (a-2)(a^2+2a+4) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{a^2+16a+12}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{(2-3a)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Объединим числители:

$ \frac{(a^2+16a+12) - (2-3a)(a-2) - 3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{a^2+16a+12 - (2a-4-3a^2+6a) - (3a^2+6a+12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

$ \frac{a^2+16a+12 - (-3a^2+8a-4) - 3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

$ \frac{a^2+16a+12+3a^2-8a+4-3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(a^2+3a^2-3a^2) + (16a-8a-6a) + (12+4-12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)} $

Сократим дробь на $ (a^2+2a+4) $:

$ \frac{1}{a-2} $

Ответ: $ \frac{1}{a-2} $

г) $ \frac{2}{4b^2-6b+9} + \frac{4b^2+18}{8b^3+27} - \frac{1}{2b+3} $

Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $:

$ 8b^3+27 = (2b)^3+3^3 = (2b+3)(4b^2-6b+9) $

Общий знаменатель для всех дробей: $ (2b+3)(4b^2-6b+9) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} + \frac{4b^2+18}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} - \frac{1(4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Объединим числители:

$ \frac{2(2b+3) + (4b^2+18) - (4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4b+6+4b^2+18-4b^2+6b-9}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(4b^2-4b^2) + (4b+6b) + (6+18-9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} = \frac{10b+15}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Вынесем общий множитель в числителе:

$ \frac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)} $

Сократим дробь на $ (2b+3) $:

$ \frac{5}{4b^2-6b+9} $

Ответ: $ \frac{5}{4b^2-6b+9} $

911. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2b + 4a^2} $

Б) $ \frac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \frac{3x - 6y}{14y^2} $

В) $ \frac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25} $

Г) $ \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \frac{3m + 6n}{2n - 3m} $

а) Чтобы представить произведение дробей в виде одной дроби, сначала разложим числители и знаменатели на множители, а затем сократим общие множители.
Исходное выражение: $\frac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2b + 4a^2}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$ab^2 - 16a = a(b^2 - 16) = a(b-4)(b+4)$.
2. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки:
$a^2b + 4a^2 = a^2(b+4)$.
3. Подставим полученные выражения обратно в произведение:
$\frac{a(b-4)(b+4)}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2(b+4)}$.
4. Сократим общие множители $a$, $(b+4)$, $5$ и $b^3$:
$\frac{\cancel{a}(b-4)\cancel{(b+4)}}{\cancel{5}\cancel{b^3}} \cdot \frac{\cancel{20}^4 b^{\cancel{5}2}}{\cancel{a^2}_a \cancel{(b+4)}} = \frac{(b-4) \cdot 4b^2}{a} = \frac{4b^2(b-4)}{a}$.
Ответ: $\frac{4b^2(b-4)}{a}$.

б) Исходное выражение: $\frac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \frac{3x - 6y}{14y^2}$.
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x)^2 - 2(x)(2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
2. Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки:
$3x - 6y = 3(x-2y)$.
3. Подставим полученные выражения в произведение:
$\frac{7xy}{(x-2y)^2} \cdot \frac{3(x-2y)}{14y^2}$.
4. Сократим общие множители $7$, $y$ и $(x-2y)$:
$\frac{\cancel{7}x\cancel{y}}{(x-2y)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(x-2y)}}{\cancel{14}_2 y^{\cancel{2}}_y} = \frac{x \cdot 3}{(x-2y) \cdot 2y} = \frac{3x}{2y(x-2y)}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y(x-2y)}$.

в) Исходное выражение: $\frac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$p^3 - 125 = p^3 - 5^3 = (p-5)(p^2 + p \cdot 5 + 5^2) = (p-5)(p^2 + 5p + 25)$.
2. Подставим полученное выражение в произведение:
$\frac{(p-5)(p^2 + 5p + 25)}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25}$.
3. Сократим общие множители $(p^2 + 5p + 25)$, $4$ и $p$:
$\frac{(p-5)\cancel{(p^2 + 5p + 25)}}{\cancel{8}_2 p^{\cancel{2}}_p} \cdot \frac{\cancel{4}\cancel{p}}{\cancel{p^2 + 5p + 25}} = \frac{p-5}{2p}$.
Ответ: $\frac{p-5}{2p}$.

г) Исходное выражение: $\frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \frac{3m + 6n}{2n - 3m}$.
1. Разложим на множители числитель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2(3m)(2n) + (2n)^2 = (3m-2n)^2$.
2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя вынесение общего множителя и формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$3m^3 + 24n^3 = 3(m^3 + 8n^3) = 3(m^3 + (2n)^3) = 3(m+2n)(m^2 - 2mn + 4n^2)$.
3. Разложим на множители числитель второй дроби:
$3m + 6n = 3(m+2n)$.
4. Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся $-1$ за скобки:
$2n - 3m = -(3m-2n)$.
5. Подставим все разложенные выражения в произведение:
$\frac{(3m-2n)^2}{3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)} \cdot \frac{3(m+2n)}{-(3m-2n)}$.
6. Сократим общие множители $3$, $(m+2n)$ и $(3m-2n)$:
$\frac{(3m-2n)^{\cancel{2}}}{\cancel{3}\cancel{(m+2n)}(m^2-2mn+4n^2)} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{(m+2n)}}{-\cancel{(3m-2n)}} = \frac{3m-2n}{-(m^2-2mn+4n^2)} = -\frac{3m-2n}{m^2-2mn+4n^2}$.
Чтобы избавиться от знака "минус" перед дробью, умножим на него числитель:
$-\frac{3m-2n}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{-(3m-2n)}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}$.
Ответ: $\frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}$.

912. Упростите:

а) $\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 - 6x}{49 - x^2}$;

б) $\frac{y^3 - 16y}{2y + 18} : \frac{4 - y}{y^2 + 9y}$;

В) $\frac{(a + b)^2 - 2ab}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab}$;

Г) $\frac{5c^3 - 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 - c}{13c + 26}$.

а) Чтобы упростить выражение, заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь. Затем разложим числители и знаменатели на множители.
$\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 - 6x}{49 - x^2} = \frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} \cdot \frac{49 - x^2}{24 - 6x} = \frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(7 + x)}{6(4 - x)}$.
Сократим общие множители $x$ и $(x + 7)$. Заметим, что $x - 4 = -(4 - x)$, что позволяет нам сократить и эти множители:
$\frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(7 + x)}{6(4 - x)} = \frac{x-4}{x+7} \cdot \frac{(7-x)(7+x)}{6(4-x)} = \frac{-(4-x)}{1} \cdot \frac{7-x}{6(4-x)} = \frac{-(7-x)}{6} = \frac{x-7}{6}$.
Ответ: $\frac{x-7}{6}$.

б) Заменим деление на умножение и разложим многочлены на множители. Для числителя первой дроби используем формулу разности квадратов $y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)$.
$\frac{y^3 - 16y}{2y + 18} : \frac{4 - y}{y^2 + 9y} = \frac{y(y^2 - 16)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y^2 + 9y}{4 - y} = \frac{y(y - 4)(y + 4)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y(y + 9)}{4 - y}$.
Сократим общие множители $(y + 9)$. Учтем, что $\frac{y-4}{4-y} = -1$:
$\frac{y(y - 4)(y + 4)}{2} \cdot \frac{y}{4 - y} = \frac{y(-(4-y))(y+4)}{2} \cdot \frac{y}{4-y} = \frac{-y(y+4) \cdot y}{2} = -\frac{y^2(y+4)}{2}$.
Ответ: $-\frac{y^2(y+4)}{2}$.

в) Сначала упростим числитель первой дроби, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$.
Теперь выражение принимает вид: $\frac{a^2 + b^2}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим общие множители:
$\frac{a^2 + b^2}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2} = \frac{1}{4a^2} \cdot \frac{ab}{1} = \frac{ab}{4a^2} = \frac{b}{4a}$.
Ответ: $\frac{b}{4a}$.

г) Заменим деление умножением и разложим на множители все части дробей. Для числителя первой дроби используем формулу разности кубов $c^3 - 1 = (c-1)(c^2+c+1)$. Знаменатель второй дроби упростим, раскрыв скобки.
$\frac{5c^3 - 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 - c}{13c + 26} = \frac{5(c^3 - 1)}{c + 2} \cdot \frac{13c + 26}{(c + 1)^2 - c} = \frac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2} \cdot \frac{13(c+2)}{(c^2+2c+1)-c}$.
Упростим знаменатель второй дроби: $c^2+2c+1-c = c^2+c+1$.
Теперь подставим упрощенное выражение и сократим общие множители $(c+2)$ и $(c^2+c+1)$:
$\frac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2} \cdot \frac{13(c+2)}{c^2+c+1} = 5(c-1) \cdot 13 = 65(c-1)$.
Ответ: $65(c-1)$.