Страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

875. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{2 - 3x^2}{x^3} $ при $ x = -\frac{1}{2} $;

б) $ \frac{1 - m^2}{3m^2 - m} $ при $ m = \frac{2}{3} $;

в) $ \frac{10x^2 - 5y^2}{x + y} $ при $ x = 1,4, y = -1,6 $;

г) $ \frac{abc}{a(b - c)} $ при $ a = 1,5, b = 10, c = -2 $.

а)

Подставим значение $x = -\frac{1}{2}$ в выражение $\frac{2 - 3x^2}{x^3}$.

Сначала вычислим значения $x^2$ и $x^3$ при $x = -\frac{1}{2}$:
$x^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$x^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{2 - 3 \cdot (\frac{1}{4})}{-\frac{1}{8}} = \frac{2 - \frac{3}{4}}{-\frac{1}{8}}$

Упростим числитель:
$2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь выполним деление:
$\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{8}} = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{8}{1}) = -\frac{5 \cdot 8}{4 \cdot 1} = -\frac{40}{4} = -10$

Ответ: -10

б)

Найдем значение выражения $\frac{1 - m^2}{3m^2 - m}$ при $m = \frac{2}{3}$. Сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

Числитель (разность квадратов): $1 - m^2 = (1 - m)(1 + m)$.

Знаменатель (вынесение общего множителя за скобки): $3m^2 - m = m(3m - 1)$.

Таким образом, выражение можно записать в виде: $\frac{(1 - m)(1 + m)}{m(3m - 1)}$.

Подставим значение $m = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:
$\frac{(1 - \frac{2}{3})(1 + \frac{2}{3})}{\frac{2}{3}(3 \cdot \frac{2}{3} - 1)} = \frac{(\frac{3-2}{3})(\frac{3+2}{3})}{\frac{2}{3}(2 - 1)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3}}{\frac{2}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{2}{3}}$

Выполним деление дробей, умножив на обратную дробь:
$\frac{5}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18}$

Сократим полученную дробь на 3: $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

в)

Найдем значение выражения $\frac{10x^2 - 5y^2}{x + y}$ при $x = 1,4$ и $y = -1,6$.

Подставим заданные значения переменных в выражение.

Сначала вычислим значение знаменателя:
$x + y = 1,4 + (-1,6) = 1,4 - 1,6 = -0,2$

Теперь вычислим значение числителя:
$10x^2 - 5y^2 = 10 \cdot (1,4)^2 - 5 \cdot (-1,6)^2$
$(1,4)^2 = 1,96$
$(-1,6)^2 = 2,56$
$10 \cdot 1,96 - 5 \cdot 2,56 = 19,6 - 12,8 = 6,8$

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{6,8}{-0,2} = -\frac{68}{2} = -34$

Ответ: -34

г)

Найдем значение выражения $\frac{abc}{a(b - c)}$ при $a = 1,5$, $b = 10$, $c = -2$.

Сначала упростим выражение. Так как $a = 1,5 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $a$:

$\frac{abc}{a(b - c)} = \frac{bc}{b - c}$

Теперь подставим значения $b = 10$ и $c = -2$ в упрощенное выражение:

$\frac{10 \cdot (-2)}{10 - (-2)} = \frac{-20}{10 + 2} = \frac{-20}{12}$

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, равный 4:
$\frac{-20 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$

876. Отмечая время (в минутах), которое учащиеся затратили на выполнение теста по математике, получили следующие данные:

$18$, $18$, $19$, $20$, $23$, $24$, $24$, $25$, $25$, $25$.

Для этого ряда данных найдите:

а) среднее арифметическое;

б) моду;

в) медиану;

г) размах.

а) среднее арифметическое;
Среднее арифметическое ряда данных — это частное от деления суммы всех чисел этого ряда на их количество.
Исходный ряд данных: 18, 18, 19, 20, 23, 24, 24, 25, 25, 25.
Всего в ряду 10 чисел.
Сначала найдем сумму всех чисел в ряду:
$S = 18 + 18 + 19 + 20 + 23 + 24 + 24 + 25 + 25 + 25 = 221$
Теперь разделим сумму на количество чисел, чтобы найти среднее арифметическое:
$M = \frac{S}{n} = \frac{221}{10} = 22,1$
Ответ: 22,1

б) моду;
Мода ряда данных — это число, которое встречается в этом ряду чаще других.
Проанализируем частоту каждого числа в ряду 18, 18, 19, 20, 23, 24, 24, 25, 25, 25:
- число 18 встречается 2 раза
- число 19 встречается 1 раз
- число 20 встречается 1 раз
- число 23 встречается 1 раз
- число 24 встречается 2 раза
- число 25 встречается 3 раза
Число 25 встречается чаще всех (3 раза), следовательно, оно является модой данного ряда.
Ответ: 25

в) медиану;
Медиана упорядоченного ряда данных — это число, которое находится в середине этого набора. Если в ряду чётное количество чисел, то медиана равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих посередине.
Наш ряд уже упорядочен по возрастанию: 18, 18, 19, 20, 23, 24, 24, 25, 25, 25.
Количество чисел в ряду — 10 (чётное). Это значит, что два центральных элемента — это пятый и шестой.
Пятый элемент ряда — 23.
Шестой элемент ряда — 24.
Найдем среднее арифметическое этих двух чисел:
$Median = \frac{23 + 24}{2} = \frac{47}{2} = 23,5$
Ответ: 23,5

г) размах.
Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
В ряду 18, 18, 19, 20, 23, 24, 24, 25, 25, 25:
Наибольшее значение: $x_{max} = 25$.
Наименьшее значение: $x_{min} = 18$.
Вычислим размах:
$R = x_{max} - x_{min} = 25 - 18 = 7$
Ответ: 7

877. a) Телевизор стоил 10 000 р. В апреле он подорожал на 30%, а в декабре подешевел на 40%. Сколько стал стоить телевизор в декабре?

б) Цену товара повысили на 30%, а через некоторое время снизили на 40%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

а)

1. Сначала вычислим цену телевизора после подорожания в апреле. Первоначальная цена составляла 10 000 рублей. Цена увеличилась на 30%.

Сумма подорожания: $10000 \cdot \frac{30}{100} = 3000$ рублей.

Новая цена в апреле: $10000 + 3000 = 13000$ рублей.

2. Затем цена в декабре подешевела на 40% от апрельской цены (13 000 рублей). Важно отметить, что процент снижения рассчитывается от новой, повышенной цены.

Сумма удешевления: $13000 \cdot \frac{40}{100} = 5200$ рублей.

Итоговая цена в декабре: $13000 - 5200 = 7800$ рублей.

Ответ: 7800 рублей.

б)

1. Обозначим первоначальную цену товара за $x$. После повышения на 30% цена стала равна 130% от первоначальной.

Новая цена: $x \cdot (1 + \frac{30}{100}) = x \cdot 1.3 = 1.3x$.

2. Затем эта новая цена ($1.3x$) была снижена на 40%. Итоговая цена составит 100% - 40% = 60% от цены $1.3x$.

Итоговая цена: $1.3x \cdot (1 - \frac{40}{100}) = 1.3x \cdot 0.6 = 0.78x$.

3. Теперь сравним итоговую цену ($0.78x$) с первоначальной ($x$). Итоговая цена составляет 0.78, или 78% от первоначальной.

Чтобы найти процентное изменение, вычтем полученный процент из 100%.

Изменение цены: $100\% - 78\% = 22\%$.

Так как итоговая цена ($0.78x$) меньше первоначальной ($x$), то цена снизилась.

Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 22%.

878. К 200 г 40%-ного раствора соли долили 300 г воды. Какой стала концентрация раствора соли?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько соли было в первоначальном растворе, а затем рассчитать новую концентрацию после добавления воды.

1. Найдем массу соли в исходном 40%-ном растворе. Масса исходного раствора составляет 200 г. Концентрация 40% означает, что масса соли составляет 40% от общей массы раствора.

Масса соли ($m_{соли}$) рассчитывается по формуле:

$m_{соли} = m_{раствора1} \times \omega_{1}$

где $m_{раствора1}$ - масса исходного раствора, а $\omega_{1}$ - его массовая доля (концентрация).

$m_{соли} = 200 \text{ г} \times 40\% = 200 \text{ г} \times 0.40 = 80 \text{ г}$

Таким образом, в исходном растворе содержится 80 г соли.

2. Найдем массу нового раствора. К исходным 200 г раствора добавили 300 г воды. Масса соли при этом не изменилась.

Масса нового раствора ($m_{раствора2}$) будет суммой массы исходного раствора и массы добавленной воды:

$m_{раствора2} = m_{раствора1} + m_{воды}$

$m_{раствора2} = 200 \text{ г} + 300 \text{ г} = 500 \text{ г}$

3. Теперь рассчитаем новую концентрацию соли ($\omega_{2}$). Это отношение массы соли к массе нового раствора, выраженное в процентах.

$\omega_{2} = \frac{m_{соли}}{m_{раствора2}} \times 100\%$

$\omega_{2} = \frac{80 \text{ г}}{500 \text{ г}} \times 100\% = 0.16 \times 100\% = 16\%$

Ответ: концентрация раствора соли стала 16%.