Страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

841. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных;

б) старосту и помощника старосты?

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы комбинаторики. Всего в классе 24 учащихся, то есть $n=24$.

а) двух дежурных;

При выборе двух дежурных порядок не имеет значения. Если выбрать ученика А и ученика Б, это та же самая пара дежурных, что и ученик Б и ученик А. Следовательно, мы должны найти число сочетаний из 24 элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n = 24$ и $k = 2$. Подставляем значения в формулу:

$C_{24}^2 = \frac{24!}{2!(24-2)!} = \frac{24!}{2! \cdot 22!} = \frac{24 \cdot 23}{2 \cdot 1} = 12 \cdot 23 = 276$

Таким образом, существует 276 способов выбрать двух дежурных.

Ответ: 276.

б) старосту и помощника старосты?

При выборе старосты и его помощника порядок важен, так как это две разные должности. Если ученик А — староста, а ученик Б — помощник, это один вариант, а если ученик Б — староста, а ученик А — помощник, это уже другой вариант. Следовательно, мы должны найти число размещений из 24 элементов по 2.

Формула для числа размещений из $n$ по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 24$ и $k = 2$. Подставляем значения в формулу:

$A_{24}^2 = \frac{24!}{(24-2)!} = \frac{24!}{22!} = 24 \cdot 23 = 552$

Можно рассуждать и по-другому: старосту можно выбрать 24 способами. После этого помощника старосты можно выбрать из оставшихся 23 учеников. По правилу умножения, общее число способов равно: $24 \cdot 23 = 552$.

Ответ: 552.

842. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Логический подход

У Антона есть 6 друзей. Для каждого из них существует две независимые возможности: друг либо будет приглашен, либо не будет.

Таким образом, общее количество всех возможных комбинаций приглашения (включая случай, когда никто не приглашен) равно произведению числа возможностей для каждого друга:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6 = 64$

В это число (64) входит один случай, который не соответствует условию задачи — это случай, когда Антон не приглашает никого. По условию, он должен пригласить "одного или нескольких" друзей. Следовательно, мы должны вычесть этот единственный вариант из общего числа.

$64 - 1 = 63$

Способ 2: Комбинаторный подход

Задача сводится к нахождению количества всех возможных непустых подмножеств в множестве из 6 элементов (друзей). Мы можем посчитать, сколькими способами можно пригласить 1 друга, 2 друзей, 3 друзей и так далее до 6, а затем сложить все эти варианты.

Число способов выбрать $k$ элементов из $n$ вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

• Число способов пригласить 1 друга: $C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$
• Число способов пригласить 2 друзей: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$
• Число способов пригласить 3 друзей: $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
• Число способов пригласить 4 друзей: $C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = C_6^2 = 15$
• Число способов пригласить 5 друзей: $C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = C_6^1 = 6$
• Число способов пригласить всех 6 друзей: $C_6^6 = \frac{6!}{6!(6-6)!} = 1$

Теперь сложим все эти варианты:

$6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 63

843. Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

Пусть $n$ — количество команд, участвовавших в финале.

По условию, каждая команда сыграла с каждой из остальных. Это означает, что для любой команды число ее соперников равно $n-1$.

Каждая пара команд играет между собой две игры: одну на своем поле и одну на поле соперника.

Рассмотрим общее количество игр. Каждая из $n$ команд проводит игры с $n-1$ соперниками. Поскольку для каждой такой пары соперников проводится две игры, можно было бы подумать, что общее число игр равно $n \times (n-1) \times 2$. Однако при таком подсчете каждая игра учитывается дважды (один раз для хозяев, второй раз для гостей).

Более простой способ рассуждения: возьмем любую из $n$ команд. Она должна сыграть в гостях у каждой из $n-1$ других команд. Это дает $n-1$ гостевых игр для каждой команды. Так как команд $n$, общее число всех гостевых игр (а значит, и общее число всех игр на чьем-либо поле) равно $n \times (n-1)$. Каждая игра в турнире является для кого-то домашней, а для кого-то гостевой, поэтому этот подсчет является полным.

Таким образом, общее количество сыгранных игр $N$ вычисляется по формуле, которая соответствует числу размещений из $n$ элементов по 2: $N = n(n-1)$

Нам известно, что всего было сыграно 30 игр, то есть $N=30$. Подставим это значение в формулу и получим уравнение: $n(n-1) = 30$

Это квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну часть: $n^2 - n - 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни подбором (по теореме Виета) или через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$

Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Так как количество команд $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -5$ не является решением задачи. Следовательно, в финале первенства участвовало 6 команд.

Ответ: 6

844. Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Фёдоров и Харитонов — могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Фёдоров и Харитонов — в других вагонах, причём различных?

a) все они хотят ехать в разных вагонах;

В данном случае нам нужно разместить 4 различных пассажиров в 9 различных вагонах так, чтобы ни один вагон не был занят более чем одним из этих пассажиров. Это задача на нахождение числа размещений без повторений, так как важен и выбор вагонов, и распределение пассажиров по ним.
Для первого пассажира (например, Алексеева) существует 9 вариантов выбора вагона.
После того как первый пассажир выбрал вагон, для второго пассажира (Смирнова) остаётся 8 свободных вагонов.
Для третьего пассажира (Фёдорова) остаётся 7 вариантов выбора.
Для четвертого пассажира (Харитонова) остаётся 6 вариантов.
Общее количество способов, согласно правилу произведения в комбинаторике, равно:
$N_a = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$
Эту же задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Здесь $n=9$ (общее число вагонов) и $k=4$ (число пассажиров).
$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Ответ: 3024

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Фёдоров и Харитонов — в других вагонах, причём различных?

В этом случае мы можем рассматривать пару (Алексеев, Смирнов) как единый объект, так как они должны находиться в одном вагоне. Таким образом, нам нужно разместить три «объекта» в разные вагоны:
1. Пара (Алексеев, Смирнов)
2. Пассажир Фёдоров
3. Пассажир Харитонов
Условие «в других вагонах, причём различных» означает, что все три «объекта» должны занять три разных вагона.
Сначала выберем вагон для пары (Алексеев, Смирнов). Для этого есть 9 способов.
Затем выберем вагон для Фёдорова. Этот вагон должен отличаться от вагона, выбранного парой, поэтому остаётся $9 - 1 = 8$ свободных вагонов.
Наконец, выберем вагон для Харитонова. Он должен быть отличен от первых двух выбранных вагонов, поэтому для него остаётся $8 - 1 = 7$ вариантов.
Общее число способов равно произведению этих вариантов:
$N_b = 9 \cdot 8 \cdot 7$
Это задача на размещение 3 «объектов» в 9 вагонах.
$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Ответ: 504

845. На плоскости отметили несколько точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели прямую. Сколько точек было отмечено, если всего было проведено 28 прямых?

Пусть на плоскости было отмечено $n$ точек.

Согласно условию, никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что для проведения одной прямой необходимо выбрать ровно две точки, и каждая пара точек определяет уникальную прямую. Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 точки из $n$ имеющихся.

Это является комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $k=2$, поэтому количество прямых равно:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию, всего было проведено 28 прямых. Составим уравнение, приравняв формулу к данному значению:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 56$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Легко подобрать, что это числа 8 и 7, так как $8 \cdot 7 = 56$. Следовательно, $n=8$.

Также это уравнение можно решить как квадратное:

$n^2 - n - 56 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Так как количество точек $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n = -7$ не является решением задачи. Таким образом, на плоскости было отмечено 8 точек.

Ответ: 8.

846. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» — 20 учащихся, а в 9 «В» — 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «А», двух — из 9 «Б» и одного — из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? $\binom{25}{3} \cdot \binom{20}{2} \cdot \binom{18}{1}$

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбора учащихся из каждого класса отдельно, а затем, по правилу произведения в комбинаторике, перемножить эти количества, чтобы найти общее число способов. Так как порядок выбора учеников внутри группы не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала найдем количество способов выбрать 3 учащихся из 25 в 9 «А» классе. Это число сочетаний из 25 по 3:
$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 25 \times 4 \times 23 = 2300$ способов.

Затем найдем количество способов выбрать 2 учащихся из 20 в 9 «Б» классе. Это число сочетаний из 20 по 2:
$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$ способов.

Далее, найдем количество способов выбрать 1 учащегося из 18 в 9 «В» классе. Это число сочетаний из 18 по 1:
$C_{18}^1 = \frac{18!}{1!(18-1)!} = \frac{18!}{1!17!} = \frac{18}{1} = 18$ способов.

Наконец, чтобы найти общее количество способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке, перемножим количество способов для каждого класса:
$N = 2300 \times 190 \times 18 = 437000 \times 18 = 7 866 000$.

Ответ: 7 866 000.

847. Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если бы туристов было на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?

Пусть $n$ – это первоначальное количество туристов в группе. Из группы требуется выбрать двух человек на две разные должности: дежурного и его помощника. Поскольку роли различны (выбор "Турист А - дежурный, Турист Б - помощник" отличается от выбора "Турист Б - дежурный, Турист А - помощник"), порядок выбора важен. Следовательно, мы используем формулу для числа размещений.

Число способов выбрать дежурного и помощника из $n$ туристов равно числу размещений из $n$ по 2:

$A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$

Согласно условию, если бы туристов было на одного больше, то есть их стало бы $n+1$, то число возможностей выбора увеличилось бы в 1,25 раза.

Число способов выбрать дежурного и помощника из $n+1$ туриста вычисляется аналогично:

$A_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{(n+1-2)!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1)n$

Теперь мы можем составить уравнение на основе условия задачи: новое число способов в 1,25 раза больше старого.

$A_{n+1}^2 = 1.25 \cdot A_n^2$

Подставим выражения для размещений в уравнение:

$n(n+1) = 1.25 \cdot n(n-1)$

Поскольку для выбора двух человек количество туристов $n$ должно быть не меньше 2, мы можем с уверенностью сказать, что $n \neq 0$, и разделить обе части уравнения на $n$:

$n+1 = 1.25(n-1)$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$n+1 = 1.25n - 1.25$

Перенесем все слагаемые с $n$ в правую часть, а константы – в левую:

$1 + 1.25 = 1.25n - n$

$2.25 = 0.25n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части на 0.25:

$n = \frac{2.25}{0.25} = \frac{225}{25} = 9$

Таким образом, в группе было 9 туристов.

Выполним проверку.
При $n=9$ туристах число способов выбора равно $9 \cdot (9-1) = 9 \cdot 8 = 72$.
При $n+1=10$ туристах число способов выбора равно $10 \cdot (10-1) = 10 \cdot 9 = 90$.
Найдем отношение нового числа способов к старому: $\frac{90}{72} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$.
Условие выполняется, значит, задача решена верно.

Ответ: в группе 9 туристов.

848. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы:

а) по 4 и 8 человек;

б) по 5 и 7 человек?

Эта задача решается с помощью комбинаторики. Поскольку порядок людей в группах не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Число способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учёта порядка определяется как $C_n^k$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (факториал $n$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

а) по 4 и 8 человек;

Задача состоит в том, чтобы разделить 12 человек на две группы: одну из 4 человек, другую из 8. Для этого достаточно выбрать 4 человека из 12. Как только мы выберем группу из 4 человек, остальные 8 человек автоматически образуют вторую группу. Поскольку группы имеют разный размер, они являются различимыми, и дальнейших действий не требуется.

Количество способов выбрать 4 человека из 12 равно числу сочетаний из 12 по 4:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!}$

Распишем и вычислим значение:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Можно также посчитать, сократив дробь: $C_{12}^4 = (12 \div (4 \cdot 3)) \cdot 11 \cdot (10 \div 2) \cdot 9 = 1 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.

Таким образом, существует 495 способов для такого разделения.

Ответ: 495 способов.

б) по 5 и 7 человек?

Аналогично предыдущему пункту, мы делим 12 человек на две группы: 5 человек и 7 человек. Для этого достаточно выбрать 5 человек из 12. Оставшиеся 7 человек автоматически сформируют вторую группу. Группы также различимы по своему размеру.

Количество способов выбрать 5 человек из 12 равно числу сочетаний из 12 по 5:

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!}$

Распишем и вычислим значение:

$C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{95040}{120} = 792$

Сокращая дробь, получаем: $C_{12}^5 = (12 \div (4 \cdot 3)) \cdot 11 \cdot (10 \div (5 \cdot 2)) \cdot 9 \cdot 8 = 1 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8 = 792$.

Следовательно, существует 792 способа для такого разделения.

Ответ: 792 способа.

849. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трёх старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Задача сводится к двум независимым выборам: выбор ведущих сотрудников и выбор старших сотрудников. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого из этих выборов.

1. Выбор ведущих научных сотрудников.

Нужно выбрать 2 ведущих сотрудников из 5 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Число способов выбрать 2 ведущих сотрудника из 5:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

2. Выбор старших научных сотрудников.

Нужно выбрать 3 старших сотрудников из 8 имеющихся. Аналогично используем формулу для числа сочетаний.

Число способов выбрать 3 старших сотрудника из 8:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ способов.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать группу для командировки, нужно перемножить количество способов выбора ведущих сотрудников на количество способов выбора старших сотрудников (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = C_5^2 \times C_8^3 = 10 \times 56 = 560$ способов.

Ответ: 560.

850. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трёхзначные числа (допускается повторение цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

a) 3;

б) 4;

в) 6?

По условию задачи, мы составляем трёхзначные числа из цифр {1, 2, 3, 4, 5}. Это означает, что каждая из трёх цифр числа (сотни, десятки, единицы) может быть любой из этих пяти цифр, причём повторения допускаются. Нам нужно найти количество таких чисел, у которых сумма цифр равна заданному значению.

а) Найдём количество чисел, сумма цифр которых равна 3.

Пусть трёхзначное число состоит из цифр $a, b, c$. Каждая из этих цифр может быть 1, 2, 3, 4 или 5. Нам нужно найти количество решений уравнения $a + b + c = 3$.

Поскольку наименьшая возможная цифра — это 1, то наименьшая возможная сумма трёх цифр равна $1 + 1 + 1 = 3$.

Это единственная комбинация цифр, которая даёт в сумме 3. То есть, все три цифры должны быть равны 1. Из этих цифр можно составить только одно трёхзначное число: 111.

Ответ: 1.

б) Найдём количество чисел, сумма цифр которых равна 4.

Нам нужно найти количество решений уравнения $a + b + c = 4$ с цифрами из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Рассмотрим возможные наборы из трёх цифр (без учёта порядка), которые в сумме дают 4:

• Если одна из цифр 2, то сумма двух других должна быть $4 - 2 = 2$. Это возможно, только если обе другие цифры равны 1. Получаем набор цифр {1, 1, 2}.
• Если использовать цифру 3, то сумма двух других должна быть $4 - 3 = 1$, что невозможно, так как минимальная сумма двух цифр из данного набора равна $1 + 1 = 2$.

Таким образом, единственно возможный набор цифр — это {1, 1, 2}. Теперь найдём, сколько различных трёхзначных чисел можно составить из этих цифр. Это задача на перестановки с повторениями.

Возможные числа: 112, 121, 211.

Всего 3 таких числа. Это можно рассчитать по формуле перестановок с повторениями: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: 3.

в) Найдём количество чисел, сумма цифр которых равна 6.

Нам нужно найти количество решений уравнения $a + b + c = 6$ с цифрами из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Рассмотрим возможные наборы из трёх цифр (без учёта порядка), которые в сумме дают 6:

• Набор {1, 1, 4}. Сумма: $1 + 1 + 4 = 6$.
• Набор {1, 2, 3}. Сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
• Набор {2, 2, 2}. Сумма: $2 + 2 + 2 = 6$.

Других наборов нет. Например, если использовать цифру 5, то сумма двух других должна быть $6 - 5 = 1$, что невозможно. Если самая большая цифра в наборе 4, то остальные две должны в сумме давать 2, что возможно только как $1+1$ (набор {1, 1, 4}). Если самая большая цифра 3, то остальные две в сумме дают 3, что возможно как $1+2$ (набор {1, 2, 3}). Если все цифры не больше 2, то единственный вариант — это $2+2+2$.

Теперь для каждого набора посчитаем количество различных чисел (перестановок), которые можно составить:

1. Для набора {1, 1, 4}: это перестановки с повторениями. Количество чисел равно $\frac{3!}{2!} = 3$. Это числа 114, 141, 411.
2. Для набора {1, 2, 3}: все цифры различны. Количество чисел равно $3! = 6$. Это числа 123, 132, 213, 231, 312, 321.
3. Для набора {2, 2, 2}: все цифры одинаковы. Количество чисел равно $\frac{3!}{3!} = 1$. Это число 222.

Общее количество чисел равно сумме количеств для каждого набора: $3 + 6 + 1 = 10$.

Ответ: 10.