Номер 845, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

845. На плоскости отметили несколько точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели прямую. Сколько точек было отмечено, если всего было проведено 28 прямых?

Пусть на плоскости было отмечено $n$ точек.

Согласно условию, никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что для проведения одной прямой необходимо выбрать ровно две точки, и каждая пара точек определяет уникальную прямую. Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 точки из $n$ имеющихся.

Это является комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $k=2$, поэтому количество прямых равно:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию, всего было проведено 28 прямых. Составим уравнение, приравняв формулу к данному значению:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 56$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Легко подобрать, что это числа 8 и 7, так как $8 \cdot 7 = 56$. Следовательно, $n=8$.

Также это уравнение можно решить как квадратное:

$n^2 - n - 56 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Так как количество точек $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n = -7$ не является решением задачи. Таким образом, на плоскости было отмечено 8 точек.

Ответ: 8.