Номер 838, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

838. Найдите значение выражения:

а) $\frac{47!}{45!};$

б) $\frac{20!}{15! \cdot 3!};$

в) $\frac{16!}{11! \cdot 5!}.$

а) Чтобы найти значение выражения $ \frac{47!}{45!} $, воспользуемся определением факториала: $ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1 $. Важным свойством является то, что $ n! = n \cdot (n-1)! $.

Представим числитель $ 47! $ как $ 47 \cdot 46 \cdot 45! $. Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{47!}{45!} = \frac{47 \cdot 46 \cdot 45!}{45!} $

Сократим общий множитель $ 45! $ в числителе и знаменателе:

$ 47 \cdot 46 = 2162 $

Ответ: 2162.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{20!}{15! \cdot 3!} $.

Сначала представим $ 20! $ в числителе как $ 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15! $, чтобы сократить его с $ 15! $ в знаменателе.

$ \frac{20!}{15! \cdot 3!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{15! \cdot 3!} $

После сокращения $ 15! $ получаем:

$ \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{3!} $

Теперь вычислим $ 3! $ в знаменателе: $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $.

$ \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{6} $

Сократим дробь. Удобно разделить $ 18 $ на $ 6 $, что дает $ 3 $.

$ 20 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16 $

Перемножим оставшиеся числа:

$ 20 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16 = 380 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16 = 1140 \cdot 17 \cdot 16 = 19380 \cdot 16 = 310080 $

Ответ: 310080.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{16!}{11! \cdot 5!} $. Это выражение также является формулой для числа сочетаний из 16 по 5, обозначаемого как $ C_{16}^5 $.

Представим $ 16! $ в числителе как $ 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11! $.

$ \frac{16!}{11! \cdot 5!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 5!} $

Сократим $ 11! $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5!} $

Вычислим $ 5! $ в знаменателе: $ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $.

$ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{120} $

Для упрощения вычислений проведем сокращение. Можно заметить, что $ 120 = 10 \cdot 12 $. Сократим множитель $ 12 $:

$ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{10} $

Далее, $ 10 = 2 \cdot 5 $. Сократим $ 16 $ на $ 2 $ (получим $ 8 $) и $ 15 $ на $ 5 $ (получим $ 3 $):

$ \frac{16}{2} \cdot \frac{15}{5} \cdot 14 \cdot 13 = 8 \cdot 3 \cdot 14 \cdot 13 $

Теперь перемножим оставшиеся числа:

$ (8 \cdot 3) \cdot (14 \cdot 13) = 24 \cdot 182 = 4368 $

Ответ: 4368.