Номер 835, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

835. (Для работы в парах.) Сколько чётных четырёхзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр:

а) 1, 2, 3, 7;

б) 1, 2, 3, 4?

1) Обсудите, в чём состоит различие заданий а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

а)

Требуется найти количество чётных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр {1, 2, 3, 7} без их повторения.

Четырёхзначное число состоит из четырёх цифр. Условие, что число должно быть чётным, означает, что его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть чётной.

В данном наборе цифр {1, 2, 3, 7} только одна чётная цифра — это 2.

Следовательно, последняя цифра искомых чисел обязательно должна быть 2. Для этой позиции у нас есть только 1 вариант.

Оставшиеся три цифры {1, 3, 7} нужно расставить по трём оставшимся позициям (тысячи, сотни и десятки). Количество способов это сделать равно числу перестановок из трёх элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

Для первых трёх позиций количество вариантов равно:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Таким образом, существует 6 способов расставить цифры 1, 3, 7 на первых трёх местах, в то время как на последнем месте всегда стоит цифра 2. Общее количество таких чисел равно $6 \times 1 = 6$.

Примеры таких чисел: 1372, 1732, 3172, 3712, 7132, 7312.

Ответ: 6

б)

Требуется найти количество чётных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр {1, 2, 3, 4} без их повторения.

Как и в предыдущем задании, последняя цифра числа должна быть чётной.

В наборе цифр {1, 2, 3, 4} есть две чётные цифры: 2 и 4. Это означает, что на последней позиции может стоять либо 2, либо 4. У нас есть 2 варианта для выбора последней цифры.

Решим задачу, используя правило произведения:
1. На позицию единиц (последнюю) можно поставить одну из двух цифр (2 или 4). Количество способов: 2.
2. После того как мы выбрали последнюю цифру, у нас осталось 3 цифры для заполнения оставшихся трёх позиций. На позицию тысяч можно поставить любую из этих трёх цифр. Количество способов: 3.
3. На позицию сотен можно поставить любую из двух оставшихся цифр. Количество способов: 2.
4. На позицию десятков остаётся последняя, одна цифра. Количество способов: 1.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа способов для каждой позиции:
$2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$.

Альтернативно, можно рассмотреть два случая:
Случай 1: Число заканчивается на 2. Тогда первые три цифры — это перестановки из {1, 3, 4}. Их количество $3! = 6$.
Случай 2: Число заканчивается на 4. Тогда первые три цифры — это перестановки из {1, 2, 3}. Их количество $3! = 6$.
Общее количество чисел равно сумме чисел в обоих случаях: $6 + 6 = 12$.

Ответ: 12

1) Обсудите, в чём состоит различие заданий а) и б).

Основное различие между заданиями а) и б) заключается в наборе предложенных цифр, что напрямую влияет на количество вариантов для составления чётного числа.

• В задании а) дан набор {1, 2, 3, 7}, в котором содержится только одна чётная цифра (2). Это жёстко фиксирует выбор последней цифры числа, делая его безальтернативным. Задача сводится к простому подсчёту перестановок оставшихся цифр.
• В задании б) дан набор {1, 2, 3, 4}, который содержит две чётные цифры (2 и 4). Это создаёт вариативность при выборе последней цифры, так как есть два возможных варианта. В результате количество возможных чётных чисел удваивается по сравнению с первым заданием, поскольку для каждого из двух вариантов последней цифры существует одинаковое количество перестановок оставшихся цифр.