Номер 840, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

840. Решите уравнение:

a) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42;$

б) $\frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} = \frac{5}{6}.$

Дано уравнение: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент факториала должен быть целым неотрицательным числом. Следовательно, $n-1 \ge 0$, откуда $n \ge 1$.

Упростим левую часть уравнения. По определению факториала, $(n+1)!$ можно представить как произведение последовательных чисел до 1. Это также можно записать через $(n-1)!$ следующим образом:
$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = 42$

Поскольку $n \ge 1$, то $(n-1)!$ определен и не равен нулю, поэтому мы можем сократить дробь на $(n-1)!$:
$n(n+1) = 42$

Мы получили квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$n^2 + n - 42 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-42$. Легко подобрать корни: $n_1 = 6$ и $n_2 = -7$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($n \ge 1$).
- Корень $n_1 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 \ge 1$.
- Корень $n_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 1$. Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $n = 6$.

Дано уравнение: $\frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} = \frac{5}{6}$.

ОДЗ этого уравнения: $n$ должно быть целым неотрицательным числом, то есть $n \ge 0$. При этом знаменатель $(n+1)!$ не равен нулю.

Преобразуем левую часть уравнения. Сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $n!$:
$(n+1)! - n! = (n+1) \cdot n! - 1 \cdot n! = (n+1 - 1) \cdot n! = n \cdot n!$

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в уравнение и распишем знаменатель $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:
$\frac{n \cdot n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{5}{6}$

Сократим дробь в левой части на $n!$ (это возможно, так как при $n \ge 0$, $n!$ определен и не равен нулю):
$\frac{n}{n+1} = \frac{5}{6}$

Мы получили простую пропорцию. Решим ее методом перекрестного умножения:
$6 \cdot n = 5 \cdot (n+1)$
$6n = 5n + 5$
$6n - 5n = 5$
$n = 5$

Проверим полученный корень на соответствие ОДЗ ($n \ge 0$). Значение $n=5$ является целым неотрицательным числом, следовательно, оно является решением уравнения.

Ответ: $n = 5$.