Номер 844, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

844. Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Фёдоров и Харитонов — могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Фёдоров и Харитонов — в других вагонах, причём различных?

a) все они хотят ехать в разных вагонах;

В данном случае нам нужно разместить 4 различных пассажиров в 9 различных вагонах так, чтобы ни один вагон не был занят более чем одним из этих пассажиров. Это задача на нахождение числа размещений без повторений, так как важен и выбор вагонов, и распределение пассажиров по ним.
Для первого пассажира (например, Алексеева) существует 9 вариантов выбора вагона.
После того как первый пассажир выбрал вагон, для второго пассажира (Смирнова) остаётся 8 свободных вагонов.
Для третьего пассажира (Фёдорова) остаётся 7 вариантов выбора.
Для четвертого пассажира (Харитонова) остаётся 6 вариантов.
Общее количество способов, согласно правилу произведения в комбинаторике, равно:
$N_a = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$
Эту же задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Здесь $n=9$ (общее число вагонов) и $k=4$ (число пассажиров).
$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Ответ: 3024

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Фёдоров и Харитонов — в других вагонах, причём различных?

В этом случае мы можем рассматривать пару (Алексеев, Смирнов) как единый объект, так как они должны находиться в одном вагоне. Таким образом, нам нужно разместить три «объекта» в разные вагоны:
1. Пара (Алексеев, Смирнов)
2. Пассажир Фёдоров
3. Пассажир Харитонов
Условие «в других вагонах, причём различных» означает, что все три «объекта» должны занять три разных вагона.
Сначала выберем вагон для пары (Алексеев, Смирнов). Для этого есть 9 способов.
Затем выберем вагон для Фёдорова. Этот вагон должен отличаться от вагона, выбранного парой, поэтому остаётся $9 - 1 = 8$ свободных вагонов.
Наконец, выберем вагон для Харитонова. Он должен быть отличен от первых двух выбранных вагонов, поэтому для него остаётся $8 - 1 = 7$ вариантов.
Общее число способов равно произведению этих вариантов:
$N_b = 9 \cdot 8 \cdot 7$
Это задача на размещение 3 «объектов» в 9 вагонах.
$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Ответ: 504