Номер 851, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

851. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 6;

б) 9?

Для решения задачи сначала найдем все возможные тройки различных цифр из набора {0, 1, 2, 3, 4, 5}, которые в сумме дают требуемое число. Затем для каждой такой тройки посчитаем, сколько различных трехзначных чисел можно составить. Важное условие: трехзначное число не может начинаться с нуля, и цифры в числе не должны повторяться.

Найдем все наборы из трех различных цифр из {0, 1, 2, 3, 4, 5}, сумма которых равна 6.

• {0, 1, 5}, так как $0 + 1 + 5 = 6$
• {0, 2, 4}, так как $0 + 2 + 4 = 6$
• {1, 2, 3}, так как $1 + 2 + 3 = 6$

Других комбинаций, удовлетворяющих условиям, нет. Теперь для каждого набора посчитаем количество возможных трехзначных чисел.

1. Набор {0, 1, 5}. Поскольку число должно быть трехзначным, на первом месте (в разряде сотен) не может стоять 0. Значит, на первом месте может быть либо 1, либо 5 (2 варианта). На втором месте может стоять любая из двух оставшихся цифр (2 варианта). На третьем месте — последняя оставшаяся цифра (1 вариант). Всего можно составить: $2 \times 2 \times 1 = 4$ числа (105, 150, 501, 510).
2. Набор {0, 2, 4}. Аналогично предыдущему случаю, на первом месте может быть 2 или 4 (2 варианта). Всего можно составить: $2 \times 2 \times 1 = 4$ числа (204, 240, 402, 420).
3. Набор {1, 2, 3}. В этом наборе нет нуля, поэтому любая из трех цифр может стоять на первом месте. Количество возможных чисел равно числу перестановок из трех элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел (123, 132, 213, 231, 312, 321).

Сложим количество чисел для всех подходящих наборов: $4 + 4 + 6 = 14$.

Ответ: 14

Найдем все наборы из трех различных цифр из {0, 1, 2, 3, 4, 5}, сумма которых равна 9.

• {0, 4, 5}, так как $0 + 4 + 5 = 9$
• {1, 3, 5}, так как $1 + 3 + 5 = 9$
• {2, 3, 4}, так как $2 + 3 + 4 = 9$

Других подходящих комбинаций нет. Теперь для каждого набора посчитаем количество возможных трехзначных чисел.

1. Набор {0, 4, 5}. В наборе есть 0. На первом месте может стоять 4 или 5 (2 варианта). Всего можно составить: $2 \times 2 \times 1 = 4$ числа (405, 450, 504, 540).
2. Набор {1, 3, 5}. В наборе нет нуля. Количество возможных чисел равно числу перестановок из трех элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел (135, 153, 315, 351, 513, 531).
3. Набор {2, 3, 4}. В наборе нет нуля. Количество возможных чисел также равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел (234, 243, 324, 342, 423, 432).

Сложим количество чисел для всех подходящих наборов: $4 + 6 + 6 = 16$.

Ответ: 16