Номер 853, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

853. Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два?

Пусть $n$ — искомое количество элементов. Число размещений (упорядоченных наборов) из $n$ элементов по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$

По условию задачи, число размещений из $n$ элементов по четыре ($A_n^4$) в 12 раз больше, чем число размещений из $n$ элементов по два ($A_n^2$). Составим на основе этого условия уравнение:
$A_n^4 = 12 \cdot A_n^2$

Подставим в уравнение выражения для размещений, используя развернутую формулу:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 12 \cdot n(n-1)$

По определению размещений, число элементов $n$ должно быть целым и не меньше, чем количество элементов в выборке. В данном случае $n \ge 4$. Это означает, что множители $n$ и $(n-1)$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$(n-2)(n-3) = 12$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$n^2 - 3n - 2n + 6 = 12$
$n^2 - 5n + 6 - 12 = 0$
$n^2 - 5n - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и -1.
$n_1 = 6$
$n_2 = -1$

Поскольку количество элементов $n$ не может быть отрицательным и должно удовлетворять исходному ограничению $n \ge 4$, корень $n_2 = -1$ является посторонним. Следовательно, единственное подходящее решение — это $n=6$.

Ответ: 6