Номер 854, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

854. Число размещений из $n$ элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из $n-2$ элементов по три. Найдите $n$.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается $A_n^k$) вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$.

Согласно условию задачи, число размещений из $n$ элементов по четыре ($A_n^4$) в 14 раз больше числа размещений из $n-2$ элементов по три ($A_{n-2}^3$). Это можно записать в виде уравнения:

$A_n^4 = 14 \cdot A_{n-2}^3$

Распишем левую и правую части уравнения, используя формулу для числа размещений:

$A_n^4 = n(n-1)(n-2)(n-3)$

$A_{n-2}^3 = (n-2)((n-2)-1)((n-2)-2) = (n-2)(n-3)(n-4)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$n(n-1)(n-2)(n-3) = 14 \cdot (n-2)(n-3)(n-4)$

Для того чтобы выражения для размещений имели смысл, должны выполняться условия: $n \ge 4$ и $n-2 \ge 3$. Второе условие является более строгим и дает $n \ge 5$.

Так как $n \ge 5$, то множители $(n-2)$ и $(n-3)$ не равны нулю, и мы можем сократить на них обе части уравнения:

$n(n-1) = 14(n-4)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 - n = 14n - 56$

$n^2 - n - 14n + 56 = 0$

$n^2 - 15n + 56 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 56. Этим условиям удовлетворяют числа 7 и 8. Таким образом, корни уравнения:

$n_1 = 7$, $n_2 = 8$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $n \ge 5$, поэтому необходимо проверить оба решения.

Проверка для $n=7$:

$A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$

$A_{7-2}^3 = A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

$840 = 14 \cdot 60 \implies 840 = 840$. Равенство верно.

Проверка для $n=8$:

$A_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$

$A_{8-2}^3 = A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

$1680 = 14 \cdot 120 \implies 1680 = 1680$. Равенство верно.

Оба значения являются решениями задачи.

Ответ: $n=7$ или $n=8$.