Номер 852, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

852. Найдите значение выражения:

a) $\frac{P_6 - P_4}{P_5}$;

б) $\frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}}$;

В) $\frac{A_8^4 - A_8^3}{A_7^3 - A_7^2}$;

Г) $\frac{C_6^3 - C_6^2}{A_6^2}$.

а)

Для решения данного выражения воспользуемся формулой для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.

Выражение имеет вид: $\frac{P_6 - P_4}{P_5} = \frac{6! - 4!}{5!}$.

Можно решить задачу, вычислив значения факториалов напрямую:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{720 - 24}{120} = \frac{696}{120}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{696}{120} = \frac{69.6}{12} = 5.8$

Более элегантный способ — это упростить выражение, используя свойства факториала. Вынесем $4!$ за скобки в числителе:

$\frac{6! - 4!}{5!} = \frac{4!(6 \cdot 5 - 1)}{5 \cdot 4!} = \frac{30 - 1}{5} = \frac{29}{5} = 5.8$

Ответ: $5.8$

б)

Используем ту же формулу для числа перестановок $P_n = n!$.

Выражение: $\frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}} = \frac{12! + 13!}{11!}$.

Представим числитель, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$:

$12! = 12 \cdot 11!$

$13! = 13 \cdot 12 \cdot 11!$

Подставим эти значения в исходное выражение и вынесем $11!$ за скобки в числителе:

$\frac{12 \cdot 11! + 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11!} = \frac{11!(12 + 13 \cdot 12)}{11!}$

Сократим $11!$ и вычислим оставшееся выражение:

$12 + 13 \cdot 12 = 12 \cdot (1 + 13) = 12 \cdot 14 = 168$

Ответ: $168$

в)

Для решения используем формулу для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Выражение: $\frac{A_8^4 - A_8^3}{A_7^3 - A_7^2}$.

Воспользуемся рекуррентным свойством размещений: $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$.

Преобразуем числитель:

$A_8^4 = (8-4+1)A_8^3 = 5A_8^3$.

Следовательно, $A_8^4 - A_8^3 = 5A_8^3 - A_8^3 = 4A_8^3$.

Преобразуем знаменатель:

$A_7^3 = (7-3+1)A_7^2 = 5A_7^2$.

Следовательно, $A_7^3 - A_7^2 = 5A_7^2 - A_7^2 = 4A_7^2$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{4A_8^3}{4A_7^2} = \frac{A_8^3}{A_7^2}$.

Теперь вычислим значения $A_8^3$ и $A_7^2$:

$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.

$A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

Найдем значение выражения:

$\frac{336}{42} = 8$.

Ответ: $8$

г)

Для решения этого выражения нам понадобятся формула для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, и формула для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Выражение имеет вид: $\frac{C_6^3 - C_6^2}{A_6^2}$.

Сначала вычислим значения в числителе.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Разность в числителе равна: $20 - 15 = 5$.

Теперь вычислим значение в знаменателе:

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$