Номер 858, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

858. На карточках написаны цифры $1, 2, 3, 4$. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой три карточки, расположив их в ряд слева направо. Какова вероятность того, что в результате получилось:

а) число $123$;

б) число $312$ или $321$;

в) число, первая цифра которого $2$?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. Мы последовательно выбираем 3 карточки из 4. Порядок выбора важен, так как он определяет расположение цифр в итоговом числе. Следовательно, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Общее число возможных трехзначных чисел (исходов) можно найти по формуле числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (цифры 1, 2, 3, 4), а $k=3$ (выбираем три карточки).

Общее число исходов $N$ равно:

$N = A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Таким образом, существует 24 различных трехзначных числа, которые можно составить из данных карточек.

а) число 123

Событие A — в результате получилось число 123. Это означает, что первая вытянутая карточка должна быть с цифрой 1, вторая — с цифрой 2, а третья — с цифрой 3. Такой исход является одним из 24 возможных.

Количество благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события $P(A)$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$

б) число 312 или 321

Событие B — в результате получилось число 312 или число 321. Эти два исхода являются несовместными (не могут произойти одновременно).

Исход, при котором получается число 312, является одним благоприятным исходом.

Исход, при котором получается число 321, также является одним благоприятным исходом.

Общее количество благоприятных исходов $m$ равно сумме этих исходов: $m = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

в) число, первая цифра которого 2

Событие C — первая цифра полученного числа равна 2. Это значит, что первая вытянутая карточка должна быть с цифрой 2.

Найдем количество благоприятных исходов.
Первая цифра фиксирована — это 2 (1 способ выбора).
Вторую цифру можно выбрать из оставшихся трех карточек (1, 3, 4) — 3 способа.
Третью цифру можно выбрать из оставшихся двух карточек — 2 способа.

Количество благоприятных исходов $m$ равно произведению числа способов на каждом шаге:

$m = 1 \times 3 \times 2 = 6$.

Вероятность события C равна:

$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$