Номер 863, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

863. Из 28 костей домино извлекают наугад 2 кости. Какова вероятность того, что обе кости окажутся дупля-ми?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = m/n$, где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Событие $A$ в данном случае — извлечение двух костей домино, которые обе являются дуплями.

1. Сначала найдем общее число возможных исходов $n$. Это количество способов выбрать 2 кости из 28. Так как порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае общее количество костей $n = 28$, а мы извлекаем $k = 2$ кости. $n = C_{28}^2 = \frac{28!}{2!(28-2)!} = \frac{28!}{2! \cdot 26!} = \frac{26! \cdot 27 \cdot 28}{2 \cdot 1 \cdot 26!} = \frac{27 \cdot 28}{2} = 27 \cdot 14 = 378$. Итак, общее число способов извлечь 2 кости из 28 равно 378.

2. Теперь найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующий исход — это когда обе извлеченные кости являются дуплями. В стандартном наборе домино (28 костей) есть 7 дуплей: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 дупля из этих 7. Снова применяем формулу сочетаний, где общее количество дуплей $n=7$, а выбираем мы $k=2$.

$m = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$. Таким образом, существует 21 способ выбрать 2 дупля.

3. Наконец, вычислим искомую вероятность как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{21}{378}$.

Сократим полученную дробь. Заметим, что $378 = 18 \cdot 21$.

$P(A) = \frac{21}{378} = \frac{21}{18 \cdot 21} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$