Номер 856, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

856. Для натуральных чисел от 1 до 99 включительно найдите частоту появления простых чисел в первом десятке, втором десятке, третьем десятке и т. д. Сравните относительные частоты для:

а) первого и третьего десятков;

б) второго и десятого десятков;

в) четвёртого и пятого десятков.

Для решения задачи сначала найдем все простые числа в диапазоне от 1 до 99. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Список простых чисел до 99:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь определим частоту (количество) и относительную частоту появления простых чисел в каждом десятке. Относительная частота — это отношение количества простых чисел в десятке к общему количеству чисел в этом десятке.

Первый десяток (числа 1-10): 4 простых числа (2, 3, 5, 7). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_1 = \frac{4}{10} = 0.4$.

Второй десяток (числа 11-20): 4 простых числа (11, 13, 17, 19). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_2 = \frac{4}{10} = 0.4$.

Третий десяток (числа 21-30): 2 простых числа (23, 29). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_3 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Четвёртый десяток (числа 31-40): 2 простых числа (31, 37). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_4 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Пятый десяток (числа 41-50): 3 простых числа (41, 43, 47). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_5 = \frac{3}{10} = 0.3$.

Шестой десяток (числа 51-60): 2 простых числа (53, 59). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_6 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Седьмой десяток (числа 61-70): 2 простых числа (61, 67). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_7 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Восьмой десяток (числа 71-80): 3 простых числа (71, 73, 79). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_8 = \frac{3}{10} = 0.3$.

Девятый десяток (числа 81-90): 2 простых числа (83, 89). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_9 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Десятый десяток (числа 91-99): 1 простое число (97). В этом десятке 9 чисел, поэтому относительная частота: $P_{10} = \frac{1}{9}$.

Теперь выполним сравнение относительных частот для указанных в задаче пар десятков.

а) первого и третьего десятков;

Относительная частота для первого десятка: $P_1 = 0.4$.

Относительная частота для третьего десятка: $P_3 = 0.2$.

Сравниваем: $0.4 > 0.2$. Следовательно, относительная частота появления простых чисел в первом десятке больше, чем в третьем.

Ответ: относительная частота в первом десятке ($0.4$) больше, чем в третьем ($0.2$).

б) второго и десятого десятков;

Относительная частота для второго десятка: $P_2 = 0.4$.

Относительная частота для десятого десятка: $P_{10} = \frac{1}{9}$.

Для сравнения чисел $0.4$ и $\frac{1}{9}$ представим $0.4$ в виде обыкновенной дроби: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Приведем дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{9}$ к общему знаменателю 45: $\frac{2}{5} = \frac{18}{45}$ и $\frac{1}{9} = \frac{5}{45}$.

Так как $\frac{18}{45} > \frac{5}{45}$, то $0.4 > \frac{1}{9}$. Следовательно, относительная частота появления простых чисел во втором десятке больше, чем в десятом.

Ответ: относительная частота во втором десятке ($0.4$) больше, чем в десятом ($\frac{1}{9}$).

в) четвёртого и пятого десятков.

Относительная частота для четвёртого десятка: $P_4 = 0.2$.

Относительная частота для пятого десятка: $P_5 = 0.3$.

Сравниваем: $0.2 < 0.3$. Следовательно, относительная частота появления простых чисел в четвёртом десятке меньше, чем в пятом.

Ответ: относительная частота в четвёртом десятке ($0.2$) меньше, чем в пятом ($0.3$).