Страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

851. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 6;

б) 9?

Для решения задачи сначала найдем все возможные тройки различных цифр из набора {0, 1, 2, 3, 4, 5}, которые в сумме дают требуемое число. Затем для каждой такой тройки посчитаем, сколько различных трехзначных чисел можно составить. Важное условие: трехзначное число не может начинаться с нуля, и цифры в числе не должны повторяться.

Найдем все наборы из трех различных цифр из {0, 1, 2, 3, 4, 5}, сумма которых равна 6.

• {0, 1, 5}, так как $0 + 1 + 5 = 6$
• {0, 2, 4}, так как $0 + 2 + 4 = 6$
• {1, 2, 3}, так как $1 + 2 + 3 = 6$

Других комбинаций, удовлетворяющих условиям, нет. Теперь для каждого набора посчитаем количество возможных трехзначных чисел.

1. Набор {0, 1, 5}. Поскольку число должно быть трехзначным, на первом месте (в разряде сотен) не может стоять 0. Значит, на первом месте может быть либо 1, либо 5 (2 варианта). На втором месте может стоять любая из двух оставшихся цифр (2 варианта). На третьем месте — последняя оставшаяся цифра (1 вариант). Всего можно составить: $2 \times 2 \times 1 = 4$ числа (105, 150, 501, 510).
2. Набор {0, 2, 4}. Аналогично предыдущему случаю, на первом месте может быть 2 или 4 (2 варианта). Всего можно составить: $2 \times 2 \times 1 = 4$ числа (204, 240, 402, 420).
3. Набор {1, 2, 3}. В этом наборе нет нуля, поэтому любая из трех цифр может стоять на первом месте. Количество возможных чисел равно числу перестановок из трех элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел (123, 132, 213, 231, 312, 321).

Сложим количество чисел для всех подходящих наборов: $4 + 4 + 6 = 14$.

Ответ: 14

Найдем все наборы из трех различных цифр из {0, 1, 2, 3, 4, 5}, сумма которых равна 9.

• {0, 4, 5}, так как $0 + 4 + 5 = 9$
• {1, 3, 5}, так как $1 + 3 + 5 = 9$
• {2, 3, 4}, так как $2 + 3 + 4 = 9$

Других подходящих комбинаций нет. Теперь для каждого набора посчитаем количество возможных трехзначных чисел.

1. Набор {0, 4, 5}. В наборе есть 0. На первом месте может стоять 4 или 5 (2 варианта). Всего можно составить: $2 \times 2 \times 1 = 4$ числа (405, 450, 504, 540).
2. Набор {1, 3, 5}. В наборе нет нуля. Количество возможных чисел равно числу перестановок из трех элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел (135, 153, 315, 351, 513, 531).
3. Набор {2, 3, 4}. В наборе нет нуля. Количество возможных чисел также равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел (234, 243, 324, 342, 423, 432).

Сложим количество чисел для всех подходящих наборов: $4 + 6 + 6 = 16$.

Ответ: 16

852. Найдите значение выражения:

a) $\frac{P_6 - P_4}{P_5}$;

б) $\frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}}$;

В) $\frac{A_8^4 - A_8^3}{A_7^3 - A_7^2}$;

Г) $\frac{C_6^3 - C_6^2}{A_6^2}$.

а)

Для решения данного выражения воспользуемся формулой для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.

Выражение имеет вид: $\frac{P_6 - P_4}{P_5} = \frac{6! - 4!}{5!}$.

Можно решить задачу, вычислив значения факториалов напрямую:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{720 - 24}{120} = \frac{696}{120}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{696}{120} = \frac{69.6}{12} = 5.8$

Более элегантный способ — это упростить выражение, используя свойства факториала. Вынесем $4!$ за скобки в числителе:

$\frac{6! - 4!}{5!} = \frac{4!(6 \cdot 5 - 1)}{5 \cdot 4!} = \frac{30 - 1}{5} = \frac{29}{5} = 5.8$

Ответ: $5.8$

б)

Используем ту же формулу для числа перестановок $P_n = n!$.

Выражение: $\frac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}} = \frac{12! + 13!}{11!}$.

Представим числитель, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$:

$12! = 12 \cdot 11!$

$13! = 13 \cdot 12 \cdot 11!$

Подставим эти значения в исходное выражение и вынесем $11!$ за скобки в числителе:

$\frac{12 \cdot 11! + 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11!} = \frac{11!(12 + 13 \cdot 12)}{11!}$

Сократим $11!$ и вычислим оставшееся выражение:

$12 + 13 \cdot 12 = 12 \cdot (1 + 13) = 12 \cdot 14 = 168$

Ответ: $168$

в)

Для решения используем формулу для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Выражение: $\frac{A_8^4 - A_8^3}{A_7^3 - A_7^2}$.

Воспользуемся рекуррентным свойством размещений: $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$.

Преобразуем числитель:

$A_8^4 = (8-4+1)A_8^3 = 5A_8^3$.

Следовательно, $A_8^4 - A_8^3 = 5A_8^3 - A_8^3 = 4A_8^3$.

Преобразуем знаменатель:

$A_7^3 = (7-3+1)A_7^2 = 5A_7^2$.

Следовательно, $A_7^3 - A_7^2 = 5A_7^2 - A_7^2 = 4A_7^2$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{4A_8^3}{4A_7^2} = \frac{A_8^3}{A_7^2}$.

Теперь вычислим значения $A_8^3$ и $A_7^2$:

$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.

$A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

Найдем значение выражения:

$\frac{336}{42} = 8$.

Ответ: $8$

г)

Для решения этого выражения нам понадобятся формула для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, и формула для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Выражение имеет вид: $\frac{C_6^3 - C_6^2}{A_6^2}$.

Сначала вычислим значения в числителе.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Разность в числителе равна: $20 - 15 = 5$.

Теперь вычислим значение в знаменателе:

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

853. Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два?

Пусть $n$ — искомое количество элементов. Число размещений (упорядоченных наборов) из $n$ элементов по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$

По условию задачи, число размещений из $n$ элементов по четыре ($A_n^4$) в 12 раз больше, чем число размещений из $n$ элементов по два ($A_n^2$). Составим на основе этого условия уравнение:
$A_n^4 = 12 \cdot A_n^2$

Подставим в уравнение выражения для размещений, используя развернутую формулу:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 12 \cdot n(n-1)$

По определению размещений, число элементов $n$ должно быть целым и не меньше, чем количество элементов в выборке. В данном случае $n \ge 4$. Это означает, что множители $n$ и $(n-1)$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$(n-2)(n-3) = 12$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$n^2 - 3n - 2n + 6 = 12$
$n^2 - 5n + 6 - 12 = 0$
$n^2 - 5n - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, например, по теореме Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и -1.
$n_1 = 6$
$n_2 = -1$

Поскольку количество элементов $n$ не может быть отрицательным и должно удовлетворять исходному ограничению $n \ge 4$, корень $n_2 = -1$ является посторонним. Следовательно, единственное подходящее решение — это $n=6$.

Ответ: 6

854. Число размещений из $n$ элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из $n-2$ элементов по три. Найдите $n$.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается $A_n^k$) вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$.

Согласно условию задачи, число размещений из $n$ элементов по четыре ($A_n^4$) в 14 раз больше числа размещений из $n-2$ элементов по три ($A_{n-2}^3$). Это можно записать в виде уравнения:

$A_n^4 = 14 \cdot A_{n-2}^3$

Распишем левую и правую части уравнения, используя формулу для числа размещений:

$A_n^4 = n(n-1)(n-2)(n-3)$

$A_{n-2}^3 = (n-2)((n-2)-1)((n-2)-2) = (n-2)(n-3)(n-4)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$n(n-1)(n-2)(n-3) = 14 \cdot (n-2)(n-3)(n-4)$

Для того чтобы выражения для размещений имели смысл, должны выполняться условия: $n \ge 4$ и $n-2 \ge 3$. Второе условие является более строгим и дает $n \ge 5$.

Так как $n \ge 5$, то множители $(n-2)$ и $(n-3)$ не равны нулю, и мы можем сократить на них обе части уравнения:

$n(n-1) = 14(n-4)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 - n = 14n - 56$

$n^2 - n - 14n + 56 = 0$

$n^2 - 15n + 56 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 56. Этим условиям удовлетворяют числа 7 и 8. Таким образом, корни уравнения:

$n_1 = 7$, $n_2 = 8$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $n \ge 5$, поэтому необходимо проверить оба решения.

Проверка для $n=7$:

$A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$

$A_{7-2}^3 = A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

$840 = 14 \cdot 60 \implies 840 = 840$. Равенство верно.

Проверка для $n=8$:

$A_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$

$A_{8-2}^3 = A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

$1680 = 14 \cdot 120 \implies 1680 = 1680$. Равенство верно.

Оба значения являются решениями задачи.

Ответ: $n=7$ или $n=8$.

855. Решите уравнение:

а) $14C_n^{n-2} = 15A_{n-3}^2;$

б) $6C_n^{n-3} = 11A_{n-1}^2;$

в) $13C_{2n}^{n+1} = 7C_{2n+1}^{n-1};$

г) $21C_{2n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^{n-1}.$

а) $14C_n^{n-2} = 15A_{n-3}^2$

Для решения уравнения воспользуемся определениями числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Выразим члены уравнения через $n$:

$C_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n(n-1)}{2}$

$A_{n-3}^2 = \frac{(n-3)!}{(n-3-2)!} = \frac{(n-3)!}{(n-5)!} = (n-3)(n-4)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий существования сочетаний и размещений: $n$ должно быть целым числом, $n-2 \ge 0$ (т.е. $n \ge 2$) и $n-3 \ge 2$ (т.е. $n \ge 5$). Итоговое ОДЗ: $n \ge 5$.

Подставим выражения в исходное уравнение:

$14 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 15(n-3)(n-4)$

Упростим и решим полученное уравнение:

$7n(n-1) = 15(n^2 - 7n + 12)$

$7n^2 - 7n = 15n^2 - 105n + 180$

$8n^2 - 98n + 180 = 0$

Разделим обе части на 2:

$4n^2 - 49n + 90 = 0$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (-49)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 - 1440 = 961 = 31^2$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{49+31}{8} = 10$, $n_2 = \frac{49-31}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$.

Согласно ОДЗ ($n \ge 5$ и $n$ - целое), корень $n_2=2.25$ не подходит. Корень $n_1=10$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $n=10$.

б) $6C_n^{n-3} = 11A_{n-1}^2$

Выразим $C_n^{n-3}$ и $A_{n-1}^2$ через $n$:

$C_n^{n-3} = \frac{n!}{(n-3)!(n-(n-3))!} = \frac{n!}{(n-3)!3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$A_{n-1}^2 = \frac{(n-1)!}{(n-1-2)!} = \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = (n-1)(n-2)$

ОДЗ: $n \in \mathbb{Z}$, $n-3 \ge 0$ (т.е. $n \ge 3$) и $n-1 \ge 2$ (т.е. $n \ge 3$). Итоговое ОДЗ: $n \ge 3$.

Подставим выражения в уравнение:

$6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 11(n-1)(n-2)$

$n(n-1)(n-2) = 11(n-1)(n-2)$

Поскольку в ОДЗ $n \ge 3$, то множители $(n-1)$ и $(n-2)$ не равны нулю. Можем разделить обе части уравнения на $(n-1)(n-2)$:

$n = 11$

Корень $n=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 3$).

Ответ: $n=11$.

в) $13C_{2n}^{n+1} = 7C_{2n+1}^{n-1}$

Выразим члены уравнения через $n$, используя формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$

$C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1-(n-1))!} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

ОДЗ: $n \in \mathbb{Z}$, $2n \ge n+1 \implies n \ge 1$, и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Итоговое ОДЗ: $n \ge 1$.

Подставим выражения в уравнение:

$13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

Используем свойства факториала $(k+1)! = (k+1)k!$ для упрощения:

$13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)(2n)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)!}$

Сократим общие ненулевые множители $\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$:

$13 = 7 \cdot \frac{2n+1}{n+2}$

Решим полученное линейное уравнение:

$13(n+2) = 7(2n+1)$

$13n + 26 = 14n + 7$

$14n - 13n = 26 - 7$

$n = 19$

Корень $n=19$ удовлетворяет ОДЗ ($19 \ge 1$).

Ответ: $n=19$.

г) $21C_{2n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^{n-1}$

Данное уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте в). Выражения для $C_{2n}^{n+1}$ и $C_{2n+1}^{n-1}$ и ОДЗ ($n \ge 1$, $n \in \mathbb{Z}$) остаются теми же.

Подставляем выражения в уравнение:

$21 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 11 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

После упрощения и сокращения общих множителей, как в предыдущем пункте, получаем:

$21 = 11 \cdot \frac{2n+1}{n+2}$

Решим уравнение:

$21(n+2) = 11(2n+1)$

$21n + 42 = 22n + 11$

$22n - 21n = 42 - 11$

$n = 31$

Корень $n=31$ удовлетворяет ОДЗ ($31 \ge 1$).

Ответ: $n=31$.

856. Для натуральных чисел от 1 до 99 включительно найдите частоту появления простых чисел в первом десятке, втором десятке, третьем десятке и т. д. Сравните относительные частоты для:

а) первого и третьего десятков;

б) второго и десятого десятков;

в) четвёртого и пятого десятков.

Для решения задачи сначала найдем все простые числа в диапазоне от 1 до 99. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Список простых чисел до 99:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь определим частоту (количество) и относительную частоту появления простых чисел в каждом десятке. Относительная частота — это отношение количества простых чисел в десятке к общему количеству чисел в этом десятке.

Первый десяток (числа 1-10): 4 простых числа (2, 3, 5, 7). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_1 = \frac{4}{10} = 0.4$.

Второй десяток (числа 11-20): 4 простых числа (11, 13, 17, 19). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_2 = \frac{4}{10} = 0.4$.

Третий десяток (числа 21-30): 2 простых числа (23, 29). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_3 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Четвёртый десяток (числа 31-40): 2 простых числа (31, 37). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_4 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Пятый десяток (числа 41-50): 3 простых числа (41, 43, 47). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_5 = \frac{3}{10} = 0.3$.

Шестой десяток (числа 51-60): 2 простых числа (53, 59). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_6 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Седьмой десяток (числа 61-70): 2 простых числа (61, 67). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_7 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Восьмой десяток (числа 71-80): 3 простых числа (71, 73, 79). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_8 = \frac{3}{10} = 0.3$.

Девятый десяток (числа 81-90): 2 простых числа (83, 89). В десятке 10 чисел. Относительная частота: $P_9 = \frac{2}{10} = 0.2$.

Десятый десяток (числа 91-99): 1 простое число (97). В этом десятке 9 чисел, поэтому относительная частота: $P_{10} = \frac{1}{9}$.

Теперь выполним сравнение относительных частот для указанных в задаче пар десятков.

а) первого и третьего десятков;

Относительная частота для первого десятка: $P_1 = 0.4$.

Относительная частота для третьего десятка: $P_3 = 0.2$.

Сравниваем: $0.4 > 0.2$. Следовательно, относительная частота появления простых чисел в первом десятке больше, чем в третьем.

Ответ: относительная частота в первом десятке ($0.4$) больше, чем в третьем ($0.2$).

б) второго и десятого десятков;

Относительная частота для второго десятка: $P_2 = 0.4$.

Относительная частота для десятого десятка: $P_{10} = \frac{1}{9}$.

Для сравнения чисел $0.4$ и $\frac{1}{9}$ представим $0.4$ в виде обыкновенной дроби: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Приведем дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{9}$ к общему знаменателю 45: $\frac{2}{5} = \frac{18}{45}$ и $\frac{1}{9} = \frac{5}{45}$.

Так как $\frac{18}{45} > \frac{5}{45}$, то $0.4 > \frac{1}{9}$. Следовательно, относительная частота появления простых чисел во втором десятке больше, чем в десятом.

Ответ: относительная частота во втором десятке ($0.4$) больше, чем в десятом ($\frac{1}{9}$).

в) четвёртого и пятого десятков.

Относительная частота для четвёртого десятка: $P_4 = 0.2$.

Относительная частота для пятого десятка: $P_5 = 0.3$.

Сравниваем: $0.2 < 0.3$. Следовательно, относительная частота появления простых чисел в четвёртом десятке меньше, чем в пятом.

Ответ: относительная частота в четвёртом десятке ($0.2$) меньше, чем в пятом ($0.3$).

857. На столе лежат 28 костей домино. Из них наугад берут одну кость.

а) Найдите вероятность того, что взятая кость в сумме содержит 6 очков.

б) Докажите, что вероятность взять кость, у которой сумма очков равна 5, равна вероятности взять кость, у которой сумма очков равна 4.

В стандартном наборе домино 28 костей. Это общее число равновозможных исходов при случайном выборе одной кости, $N=28$. Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а)

Найдем количество костей (благоприятных исходов), на которых сумма очков равна 6. Перечислим все такие кости, представляя их как пары чисел $(a, b)$, где $a \le b$:

• (0, 6), сумма $0+6=6$
• (1, 5), сумма $1+5=6$
• (2, 4), сумма $2+4=6$
• (3, 3), сумма $3+3=6$

Всего 4 таких кости. Таким образом, число благоприятных исходов $m=4$.

Вероятность того, что на взятой кости сумма очков равна 6, составляет:

$P(\text{сумма равна 6}) = \frac{m}{N} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

б)

Чтобы доказать, что вероятности равны, достаточно показать, что количество костей с суммой очков 5 равно количеству костей с суммой очков 4, так как общее число костей $N$ в обоих случаях одинаково.

1. Найдем количество костей, на которых сумма очков равна 5 ($m_5$).

• (0, 5), сумма $0+5=5$
• (1, 4), сумма $1+4=5$
• (2, 3), сумма $2+3=5$

Всего 3 таких кости, значит $m_5 = 3$. Вероятность этого события: $P(\text{сумма равна 5}) = \frac{3}{28}$.

2. Найдем количество костей, на которых сумма очков равна 4 ($m_4$).

• (0, 4), сумма $0+4=4$
• (1, 3), сумма $1+3=4$
• (2, 2), сумма $2+2=4$

Всего 3 таких кости, значит $m_4 = 3$. Вероятность этого события: $P(\text{сумма равна 4}) = \frac{3}{28}$.

Поскольку $m_5 = m_4 = 3$, то и вероятности этих событий равны: $P(\text{сумма равна 5}) = P(\text{сумма равна 4}) = \frac{3}{28}$. Утверждение доказано.

Ответ: Количество костей с суммой очков 5 равно 3, и количество костей с суммой очков 4 также равно 3. Так как общее число костей (28) для расчета вероятности одно и то же, вероятности этих событий равны $\frac{3}{28}$.

858. На карточках написаны цифры $1, 2, 3, 4$. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой три карточки, расположив их в ряд слева направо. Какова вероятность того, что в результате получилось:

а) число $123$;

б) число $312$ или $321$;

в) число, первая цифра которого $2$?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. Мы последовательно выбираем 3 карточки из 4. Порядок выбора важен, так как он определяет расположение цифр в итоговом числе. Следовательно, мы имеем дело с размещениями без повторений.

Общее число возможных трехзначных чисел (исходов) можно найти по формуле числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (цифры 1, 2, 3, 4), а $k=3$ (выбираем три карточки).

Общее число исходов $N$ равно:

$N = A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Таким образом, существует 24 различных трехзначных числа, которые можно составить из данных карточек.

а) число 123

Событие A — в результате получилось число 123. Это означает, что первая вытянутая карточка должна быть с цифрой 1, вторая — с цифрой 2, а третья — с цифрой 3. Такой исход является одним из 24 возможных.

Количество благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события $P(A)$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$

б) число 312 или 321

Событие B — в результате получилось число 312 или число 321. Эти два исхода являются несовместными (не могут произойти одновременно).

Исход, при котором получается число 312, является одним благоприятным исходом.

Исход, при котором получается число 321, также является одним благоприятным исходом.

Общее количество благоприятных исходов $m$ равно сумме этих исходов: $m = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

в) число, первая цифра которого 2

Событие C — первая цифра полученного числа равна 2. Это значит, что первая вытянутая карточка должна быть с цифрой 2.

Найдем количество благоприятных исходов.
Первая цифра фиксирована — это 2 (1 способ выбора).
Вторую цифру можно выбрать из оставшихся трех карточек (1, 3, 4) — 3 способа.
Третью цифру можно выбрать из оставшихся двух карточек — 2 способа.

Количество благоприятных исходов $m$ равно произведению числа способов на каждом шаге:

$m = 1 \times 3 \times 2 = 6$.

Вероятность события C равна:

$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$