Страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

831. Сколько существует четырёхзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

Для того чтобы найти количество четырёхзначных чисел, кратных 10, с возможностью повторения цифр, необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из четырёх позиций в числе (тысячи, сотни, десятки, единицы).

Рассмотрим каждую позицию:

• Первая цифра (разряд тысяч): Так как число должно быть четырёхзначным, первая цифра не может быть 0. Следовательно, для неё доступны цифры от 1 до 9. Это даёт 9 возможных вариантов.
• Вторая цифра (разряд сотен): По условию, цифры могут повторяться, и других ограничений на эту позицию нет. Значит, можно использовать любую цифру от 0 до 9. Это даёт 10 возможных вариантов.
• Третья цифра (разряд десятков): Аналогично второй цифре, на этой позиции может быть любая цифра от 0 до 9. Это также 10 возможных вариантов.
• Четвёртая цифра (разряд единиц): Чтобы число было кратно 10, оно должно оканчиваться на 0. Таким образом, для последней цифры есть только один возможный вариант — цифра 0.

Для нахождения общего количества таких чисел, согласно комбинаторному правилу произведения, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$N = 9 \times 10 \times 10 \times 1 = 900$

Таким образом, существует 900 четырёхзначных чисел, которые кратны 10 и в которых цифры могут повторяться.

Ответ: 900

832. Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.

Для того чтобы найти все возможные маршруты, представим каждый шаг в виде буквы. Пусть движение на один квартал на север обозначается буквой С, а движение на один квартал на запад — буквой З.

Пешеходу необходимо пройти один квартал на север (один шаг С) и три квартала на запад (три шага З). Общая длина каждого маршрута составляет $1 + 3 = 4$ шага. Таким образом, каждый маршрут — это уникальная последовательность из четырех букв, содержащая одну С и три З.

Задача сводится к нахождению всех возможных положений для шага на север (С) в последовательности из четырех шагов. Остальные три позиции будут автоматически заняты шагами на запад (З).

Общее количество таких маршрутов можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний, так как мы выбираем 1 позицию для шага на север из 4 возможных мест: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = 4$
Следовательно, существует 4 уникальных маршрута.

Перечислим все эти маршруты:
1. Шаг на север делается первым, за ним следуют три шага на запад: СЗЗЗ
2. Шаг на север делается вторым, между двумя шагами на запад: ЗСЗЗ
3. Шаг на север делается третьим: ЗЗСЗ
4. Шаг на север делается последним: ЗЗЗС

Ответ: СЗЗЗ, ЗСЗЗ, ЗЗСЗ, ЗЗЗС.

833. Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четвёрками и двумя единицами.

Для решения этой задачи необходимо найти все возможные пятизначные числа, которые можно составить из набора цифр: три четвёрки (4, 4, 4) и две единицы (1, 1). Это является задачей на нахождение числа перестановок с повторениями.

Общее количество цифр в числе — 5. Так как в наборе нет нуля, любая перестановка этих пяти цифр будет образовывать корректное пятизначное число.

Общее количество таких уникальных чисел можно рассчитать по формуле для перестановок с повторениями:$N = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2!}$где $n$ — общее количество цифр, $k_1$ — количество повторений одной цифры, $k_2$ — количество повторений другой цифры.

В нашем случае $n=5$ (всего пять цифр), $k_1=3$ (три четвёрки), $k_2=2$ (две единицы).Подставим эти значения в формулу:$N = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2)} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$.Таким образом, существует ровно 10 таких чисел.

Чтобы выписать все эти числа, мы можем последовательно определить все возможные положения для двух единиц на пяти позициях. Оставшиеся три позиции будут заняты четвёрками. Получим следующий список чисел:

1. Единицы на 1-й и 2-й позициях: 11444
2. Единицы на 1-й и 3-й позициях: 14144
3. Единицы на 1-й и 4-й позициях: 14414
4. Единицы на 1-й и 5-й позициях: 14441
5. Единицы на 2-й и 3-й позициях: 41144
6. Единицы на 2-й и 4-й позициях: 41414
7. Единицы на 2-й и 5-й позициях: 41441
8. Единицы на 3-й и 4-й позициях: 44114
9. Единицы на 3-й и 5-й позициях: 44141
10. Единицы на 4-й и 5-й позициях: 44411

Ответ: 11444, 14144, 14414, 14441, 41144, 41414, 41441, 44114, 44141, 44411.

834. Из цифр $1, 2, 3, 5$ составили все возможные четырёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше $2000$, но меньше $5000$?

В задаче требуется найти количество четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 5 без повторения, которые больше 2000, но меньше 5000.

Пусть искомое четырёхзначное число представлено как abcd, где a, b, c, d — это разные цифры из набора {1, 2, 3, 5}.

Условие, что число больше 2000, означает, что первая цифра a (разряд тысяч) должна быть больше или равна 2. Из доступных цифр подходят 2, 3 и 5.

Условие, что число меньше 5000, означает, что первая цифра a должна быть меньше 5. Из доступных цифр подходят 1, 2 и 3.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, первая цифра a должна быть либо 2, либо 3. Таким образом, у нас есть 2 варианта для выбора первой цифры.

После выбора первой цифры у нас остаются 3 неиспользованные цифры для трёх оставшихся позиций (сотни, десятки и единицы). Количество способов расставить 3 различные цифры на 3-х местах — это число перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как $3!$ (3 факториал).

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Итак, для каждого из двух возможных вариантов первой цифры (2 или 3) существует 6 способов составить оставшуюся часть числа.

Для нахождения общего количества таких чисел необходимо умножить количество вариантов для первой цифры на количество вариантов для оставшихся трёх: $2 \times 6 = 12$

Ответ: 12

835. (Для работы в парах.) Сколько чётных четырёхзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр:

а) 1, 2, 3, 7;

б) 1, 2, 3, 4?

1) Обсудите, в чём состоит различие заданий а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

а)

Требуется найти количество чётных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр {1, 2, 3, 7} без их повторения.

Четырёхзначное число состоит из четырёх цифр. Условие, что число должно быть чётным, означает, что его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть чётной.

В данном наборе цифр {1, 2, 3, 7} только одна чётная цифра — это 2.

Следовательно, последняя цифра искомых чисел обязательно должна быть 2. Для этой позиции у нас есть только 1 вариант.

Оставшиеся три цифры {1, 3, 7} нужно расставить по трём оставшимся позициям (тысячи, сотни и десятки). Количество способов это сделать равно числу перестановок из трёх элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

Для первых трёх позиций количество вариантов равно:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Таким образом, существует 6 способов расставить цифры 1, 3, 7 на первых трёх местах, в то время как на последнем месте всегда стоит цифра 2. Общее количество таких чисел равно $6 \times 1 = 6$.

Примеры таких чисел: 1372, 1732, 3172, 3712, 7132, 7312.

Ответ: 6

б)

Требуется найти количество чётных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр {1, 2, 3, 4} без их повторения.

Как и в предыдущем задании, последняя цифра числа должна быть чётной.

В наборе цифр {1, 2, 3, 4} есть две чётные цифры: 2 и 4. Это означает, что на последней позиции может стоять либо 2, либо 4. У нас есть 2 варианта для выбора последней цифры.

Решим задачу, используя правило произведения:
1. На позицию единиц (последнюю) можно поставить одну из двух цифр (2 или 4). Количество способов: 2.
2. После того как мы выбрали последнюю цифру, у нас осталось 3 цифры для заполнения оставшихся трёх позиций. На позицию тысяч можно поставить любую из этих трёх цифр. Количество способов: 3.
3. На позицию сотен можно поставить любую из двух оставшихся цифр. Количество способов: 2.
4. На позицию десятков остаётся последняя, одна цифра. Количество способов: 1.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа способов для каждой позиции:
$2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$.

Альтернативно, можно рассмотреть два случая:
Случай 1: Число заканчивается на 2. Тогда первые три цифры — это перестановки из {1, 3, 4}. Их количество $3! = 6$.
Случай 2: Число заканчивается на 4. Тогда первые три цифры — это перестановки из {1, 2, 3}. Их количество $3! = 6$.
Общее количество чисел равно сумме чисел в обоих случаях: $6 + 6 = 12$.

Ответ: 12

1) Обсудите, в чём состоит различие заданий а) и б).

Основное различие между заданиями а) и б) заключается в наборе предложенных цифр, что напрямую влияет на количество вариантов для составления чётного числа.

• В задании а) дан набор {1, 2, 3, 7}, в котором содержится только одна чётная цифра (2). Это жёстко фиксирует выбор последней цифры числа, делая его безальтернативным. Задача сводится к простому подсчёту перестановок оставшихся цифр.
• В задании б) дан набор {1, 2, 3, 4}, который содержит две чётные цифры (2 и 4). Это создаёт вариативность при выборе последней цифры, так как есть два возможных варианта. В результате количество возможных чётных чисел удваивается по сравнению с первым заданием, поскольку для каждого из двух вариантов последней цифры существует одинаковое количество перестановок оставшихся цифр.

836. Делится ли число $50!$ на:

а) 100;

б) 305;

в) 1550?

Чтобы определить, делится ли число $50!$ на заданное число, нужно разложить это число на простые множители и проверить, содержатся ли эти множители в произведении $50! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 50$. Число $50!$ делится на любое число, все простые множители которого (с учетом их степеней) можно найти среди сомножителей от 1 до 50.

а) 100
Разложим число 100 на множители: $100 = 10 \times 10 = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25$. Число $50!$ по определению является произведением всех натуральных чисел от 1 до 50. Среди множителей в этом произведении есть и число 4, и число 25. Поскольку $4$ и $25$ являются множителями в разложении $50!$, то их произведение $4 \times 25 = 100$ также является делителем числа $50!$.
Ответ: да, делится.

б) 305
Разложим число 305 на простые множители. Число оканчивается на 5, поэтому оно делится на 5: $305 = 5 \times 61$. Число 61 является простым. Для того чтобы $50!$ делилось на 305, оно должно делиться на все его простые множители, то есть на 5 и на 61. В разложении числа $50!$ на простые множители могут содержаться только простые числа, не превосходящие 50. Поскольку $61 > 50$, простое число 61 не является множителем в разложении $50!$, а значит, $50!$ не делится на 61. Следовательно, $50!$ не делится и на 305.
Ответ: нет, не делится.

в) 1550
Разложим число 1550 на простые множители: $1550 = 155 \times 10 = (5 \times 31) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 31$. Таким образом, $1550 = 2 \times 25 \times 31$. Проверим, содержатся ли множители 2, 25 и 31 в произведении $1 \times 2 \times \dots \times 50$.

• Множитель 2 присутствует в произведении.
• Множитель 25 ($=5^2$) присутствует в произведении.
• Множитель 31 (простое число) присутствует в произведении.

Поскольку числа 2, 25 и 31 являются сомножителями в $50!$ и они взаимно простые, то их произведение $2 \times 25 \times 31 = 1550$ также будет делителем $50!$.
Ответ: да, делится.

837. Найдите наименьшее значение $n$, при котором число $n!$ оканчивается:

а) одним нулём;

б) двумя нулями;

в) тремя нулями.

Количество нулей на конце числа $n!$ определяется количеством множителей 5 в его разложении на простые множители. Это связано с тем, что каждый ноль образуется произведением $2 \times 5$, а множителей 2 в разложении $n!$ всегда больше, чем множителей 5. Количество множителей 5 можно найти по формуле Лежандра:
$Z = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^i} \rfloor = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots$
где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$. Наша задача — найти наименьшее $n$ для заданного количества нулей $Z$.

а) одним нулём
Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $n!$ оканчивается одним нулём, то есть количество множителей 5 в разложении $n!$ должно быть не меньше одного ($Z \geq 1$).
Используя формулу, получаем: $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \dots \geq 1$.
Для наименьшего $n$ достаточно, чтобы первый член был не меньше 1: $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor \geq 1$.
Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=5$. При $n=4$ множителей 5 нет ($4!=24$), а при $n=5$ появляется первый множитель 5 ($5!=120$).
Ответ: 5.

б) двумя нулями
Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $n!$ оканчивается двумя нулями ($Z \geq 2$).
Количество нулей увеличивается только тогда, когда $n$ является числом, кратным 5.
При $n=5, 6, 7, 8, 9$ в разложении $n!$ есть только один множитель 5 (это само число 5), поэтому $n!$ будет оканчиваться одним нулём.
Следующий множитель 5 появляется при $n=10$. Проверим количество нулей для $n=10$:
$Z = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots = 2 + 0 = 2$.
Таким образом, наименьшее $n$, при котором $n!$ оканчивается двумя нулями, равно 10.
Ответ: 10.

в) тремя нулями
Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $n!$ оканчивается тремя нулями ($Z \geq 3$).
Мы уже знаем, что при $n=10$ количество нулей равно 2. Для $n$ от 10 до 14 количество нулей не изменится, так как среди чисел 11, 12, 13, 14 нет кратных 5.
Следующий множитель 5 появляется при $n=15$. Проверим количество нулей для $n=15$:
$Z = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor + \lfloor \frac{15}{25} \rfloor + \dots = 3 + 0 = 3$.
Таким образом, наименьшее $n$, при котором $n!$ оканчивается тремя нулями, равно 15.
Ответ: 15.

838. Найдите значение выражения:

а) $\frac{47!}{45!};$

б) $\frac{20!}{15! \cdot 3!};$

в) $\frac{16!}{11! \cdot 5!}.$

а) Чтобы найти значение выражения $ \frac{47!}{45!} $, воспользуемся определением факториала: $ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1 $. Важным свойством является то, что $ n! = n \cdot (n-1)! $.

Представим числитель $ 47! $ как $ 47 \cdot 46 \cdot 45! $. Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{47!}{45!} = \frac{47 \cdot 46 \cdot 45!}{45!} $

Сократим общий множитель $ 45! $ в числителе и знаменателе:

$ 47 \cdot 46 = 2162 $

Ответ: 2162.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{20!}{15! \cdot 3!} $.

Сначала представим $ 20! $ в числителе как $ 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15! $, чтобы сократить его с $ 15! $ в знаменателе.

$ \frac{20!}{15! \cdot 3!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{15! \cdot 3!} $

После сокращения $ 15! $ получаем:

$ \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{3!} $

Теперь вычислим $ 3! $ в знаменателе: $ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $.

$ \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{6} $

Сократим дробь. Удобно разделить $ 18 $ на $ 6 $, что дает $ 3 $.

$ 20 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16 $

Перемножим оставшиеся числа:

$ 20 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16 = 380 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 16 = 1140 \cdot 17 \cdot 16 = 19380 \cdot 16 = 310080 $

Ответ: 310080.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{16!}{11! \cdot 5!} $. Это выражение также является формулой для числа сочетаний из 16 по 5, обозначаемого как $ C_{16}^5 $.

Представим $ 16! $ в числителе как $ 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11! $.

$ \frac{16!}{11! \cdot 5!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{11! \cdot 5!} $

Сократим $ 11! $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5!} $

Вычислим $ 5! $ в знаменателе: $ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $.

$ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{120} $

Для упрощения вычислений проведем сокращение. Можно заметить, что $ 120 = 10 \cdot 12 $. Сократим множитель $ 12 $:

$ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{10} $

Далее, $ 10 = 2 \cdot 5 $. Сократим $ 16 $ на $ 2 $ (получим $ 8 $) и $ 15 $ на $ 5 $ (получим $ 3 $):

$ \frac{16}{2} \cdot \frac{15}{5} \cdot 14 \cdot 13 = 8 \cdot 3 \cdot 14 \cdot 13 $

Теперь перемножим оставшиеся числа:

$ (8 \cdot 3) \cdot (14 \cdot 13) = 24 \cdot 182 = 4368 $

Ответ: 4368.

839. Сократите дробь:

а) $(n+1)! \over n!$;

б) $n! \over (n+2)!$;

в) $(n+3)! \over (n+1)!$;

г) $(n+1)!(n+3) \over (n+4)!$;

д) $(n+11)!n \over (n+10)!$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+1)!}{n!}$, воспользуемся определением факториала: $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (k-1) \cdot k$.
Представим числитель $(n+1)!$ как произведение $(n+1)$ и $n!$ по свойству факториала $k! = (k-1)! \cdot k$:
$(n+1)! = n! \cdot (n+1)$.
Теперь подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(n+1)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1)}{n!}$.
Сокращаем $n!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{n!} \cdot (n+1)}{\cancel{n!}} = n+1$.
Ответ: $n+1$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{n!}{(n+2)!}$, представим знаменатель $(n+2)!$ через $n!$:
$(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}$.
Сокращаем $n!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{n!}}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot \cancel{n!}} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Ответ: $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$, представим числитель $(n+3)!$ через $(n+1)!$, так как $(n+3) > (n+1)$:
$(n+3)! = (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = \frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!}$.
Сокращаем $(n+1)!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot \cancel{(n+1)!}}{\cancel{(n+1)!}} = (n+2)(n+3)$.
Ответ: $(n+2)(n+3)$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+1)!(n+3)}{(n+4)!}$, представим наибольший факториал, $(n+4)!$, через наименьший, $(n+1)!$:
$(n+4)! = (n+4) \cdot (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(n+1)!(n+3)}{(n+4)!} = \frac{(n+1)!(n+3)}{(n+4) \cdot (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!}$.
Сокращаем общие множители $(n+1)!$ и $(n+3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(n+1)!}\cancel{(n+3)}}{(n+4) \cdot \cancel{(n+3)} \cdot (n+2) \cdot \cancel{(n+1)!}} = \frac{1}{(n+2)(n+4)}$.
Ответ: $\frac{1}{(n+2)(n+4)}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{(n+11)!n}{(n+10)!}$, представим числитель $(n+11)!$ через $(n+10)!$:
$(n+11)! = (n+11) \cdot (n+10)!$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(n+11)!n}{(n+10)!} = \frac{(n+11) \cdot (n+10)! \cdot n}{(n+10)!}$.
Сокращаем $(n+10)!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(n+11) \cdot \cancel{(n+10)!} \cdot n}{\cancel{(n+10)!}} = n(n+11)$.
Ответ: $n(n+11)$.

840. Решите уравнение:

a) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42;$

б) $\frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} = \frac{5}{6}.$

Дано уравнение: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 42$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент факториала должен быть целым неотрицательным числом. Следовательно, $n-1 \ge 0$, откуда $n \ge 1$.

Упростим левую часть уравнения. По определению факториала, $(n+1)!$ можно представить как произведение последовательных чисел до 1. Это также можно записать через $(n-1)!$ следующим образом:
$(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = 42$

Поскольку $n \ge 1$, то $(n-1)!$ определен и не равен нулю, поэтому мы можем сократить дробь на $(n-1)!$:
$n(n+1) = 42$

Мы получили квадратное уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$n^2 + n - 42 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-42$. Легко подобрать корни: $n_1 = 6$ и $n_2 = -7$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($n \ge 1$).
- Корень $n_1 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 \ge 1$.
- Корень $n_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 1$. Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $n = 6$.

Дано уравнение: $\frac{(n+1)! - n!}{(n+1)!} = \frac{5}{6}$.

ОДЗ этого уравнения: $n$ должно быть целым неотрицательным числом, то есть $n \ge 0$. При этом знаменатель $(n+1)!$ не равен нулю.

Преобразуем левую часть уравнения. Сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $n!$:
$(n+1)! - n! = (n+1) \cdot n! - 1 \cdot n! = (n+1 - 1) \cdot n! = n \cdot n!$

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в уравнение и распишем знаменатель $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:
$\frac{n \cdot n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{5}{6}$

Сократим дробь в левой части на $n!$ (это возможно, так как при $n \ge 0$, $n!$ определен и не равен нулю):
$\frac{n}{n+1} = \frac{5}{6}$

Мы получили простую пропорцию. Решим ее методом перекрестного умножения:
$6 \cdot n = 5 \cdot (n+1)$
$6n = 5n + 5$
$6n - 5n = 5$
$n = 5$

Проверим полученный корень на соответствие ОДЗ ($n \ge 0$). Значение $n=5$ является целым неотрицательным числом, следовательно, оно является решением уравнения.

Ответ: $n = 5$.