Страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

805. Чтобы открыть сейф, надо набрать в определённой последовательности пять цифр (без их повторения): 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что если набирать цифры в произвольном порядке, то сейф откроется?

Для решения данной задачи воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех возможных исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

Сначала определим общее число возможных исходов $n$. Нам нужно составить код из пяти различных цифр (1, 2, 3, 4, 5) в определённой последовательности. Это задача на нахождение числа перестановок из 5 элементов. Количество перестановок из $k$ элементов вычисляется по формуле $P_k = k!$.

В нашем случае $k=5$, поэтому общее число возможных комбинаций кода равно:

$n = P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов набрать код из этих пяти цифр.

Далее определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это набор правильной комбинации, которая открывает сейф. По условию, такая комбинация только одна.

$m = 1$

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что сейф откроется при случайном наборе цифр:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{120}$

Ответ: $\frac{1}{120}$

806. На четырёх карточках написаны буквы «о», «т», «к», «р». Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили их в ряд. Какова вероятность того, что в результате получится слово «крот»?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где:
$n$ — общее число всех возможных исходов;
$m$ — число благоприятных исходов.

1. Определение общего числа исходов (n).
У нас есть четыре карточки с разными буквами: «о», «т», «к», «р». Общее число исходов — это количество всех возможных перестановок этих четырех букв. Число перестановок из 4 элементов вычисляется как факториал числа 4.
$n = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, всего можно составить 24 различных последовательности из этих букв.

2. Определение числа благоприятных исходов (m).
Благоприятным исходом является получение слова «крот». Это одна-единственная, конкретная последовательность букв.
Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

3. Вычисление вероятности.
Теперь мы можем рассчитать вероятность, подставив найденные значения $m$ и $n$ в формулу:
$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{24}$.

Ответ: Вероятность того, что получится слово «крот», равна $\frac{1}{24}$.

807. Бросают два кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших на них очков не будет кратна 6?

Для решения этой задачи по теории вероятностей, сначала определим общее количество возможных исходов при броске двух кубиков. На каждом кубике 6 граней, поэтому при броске двух кубиков общее число равновозможных комбинаций (исходов) $N$ равно:
$N = 6 \times 6 = 36$.

Нам нужно найти вероятность события A, при котором "сумма выпавших на них очков не будет кратна 6". Проще вычислить вероятность противоположного события B: "сумма выпавших очков кратна 6". Затем, искомую вероятность можно будет найти по формуле $P(A) = 1 - P(B)$.

Найдем все исходы, благоприятствующие событию B. Сумма очков на двух кубиках может варьироваться от $1+1=2$ до $6+6=12$. В этом диапазоне числами, кратными 6, являются 6 и 12.

Перечислим комбинации, дающие в сумме 6:
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).
Всего 5 таких благоприятных исходов.

Перечислим комбинации, дающие в сумме 12:
(6, 6).
Всего 1 такой благоприятный исход.

Общее число исходов $m$, благоприятствующих событию B (сумма кратна 6), равно сумме исходов для суммы 6 и суммы 12:
$m = 5 + 1 = 6$.

Теперь можем рассчитать вероятность события B по классической формуле вероятности $P(B) = \frac{m}{N}$:
$P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Наконец, найдем вероятность искомого события A (сумма очков не кратна 6). Так как события A и B противоположны, их сумма вероятностей равна 1:
$P(A) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

808. На четырёх карточках были написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали, а затем положили в ряд и открыли. Какова вероятность того, что в результате получилось число, большее 2000?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Найдем общее количество возможных исходов.

Из четырех карточек с цифрами 1, 2, 3, 4 составляются четырехзначные числа. Все цифры в числе должны быть разными. Общее количество таких чисел равно числу перестановок из 4 элементов. Обозначим общее число всех равновозможных исходов как $N$.

$N = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, всего можно составить 24 различных четырехзначных числа.

2. Найдем количество благоприятных исходов.

Благоприятным исходом считается получение числа, которое больше 2000. Чтобы четырехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, было больше 2000, его первая цифра (цифра в разряде тысяч) должна быть 2, 3 или 4. Если на первом месте будет стоять цифра 1, то любое полученное число (например, 1234, 1432) будет меньше 2000.

Рассмотрим все подходящие случаи:

• Если первая цифра – 2. Оставшиеся три цифры (1, 3, 4) можно расположить на оставшихся трех местах. Количество способов это сделать равно числу перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел.

• Если первая цифра – 3. Аналогично, оставшиеся три цифры (1, 2, 4) можно разместить $P_3 = 3! = 6$ способами.

• Если первая цифра – 4. Оставшиеся три цифры (1, 2, 3) также можно разместить $P_3 = 3! = 6$ способами.

Теперь сложим количество благоприятных исходов для каждого случая, чтобы найти общее количество чисел, больших 2000. Обозначим это количество как $m$.

$m = 6 + 6 + 6 = 18$

Итак, существует 18 благоприятных исходов.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение количества благоприятных исходов $m$ к общему количеству исходов $N$:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{18}{24}$

Сократим полученную дробь на 6:

$P(A) = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Также эту задачу можно решить проще. Так как все перестановки карточек равновероятны, то вероятность появления любой из цифр (1, 2, 3, 4) на первом месте одинакова и равна $1/4$. Условию "число больше 2000" удовлетворяют случаи, когда на первом месте стоят цифры 2, 3 или 4. Таких благоприятных цифр три. Следовательно, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий: $1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

809. В коробке лежат только красные и синие карандаши. Рассматриваются следующие события:

$A$ — из коробки вынут красный карандаш;

$B$ — из коробки вынут синий карандаш;

$C$ — из коробки вынут цветной карандаш;

$D$ — из коробки вынут жёлтый карандаш.

Вероятность какого из этих событий равна $0$; равна $1$; больше $0$, но меньше $1$?

Для решения задачи проанализируем каждое событие, исходя из условия, что в коробке находятся только красные и синие карандаши. Это означает, что в коробке есть карандаши обоих цветов, так как в условии они указаны во множественном числе.

Вероятность какого из этих событий равна 0

Вероятность события равна 0, если оно является невозможным, то есть не может произойти ни при каких обстоятельствах.

Рассмотрим событие D: "из коробки вынут жёлтый карандаш".

Поскольку по условию в коробке лежат только красные и синие карандаши, в ней нет жёлтых карандашей. Следовательно, вынуть жёлтый карандаш невозможно. Событие D является невозможным.

Вероятность невозможного события равна 0, то есть $P(D) = 0$.

Ответ: Вероятность события D равна 0.

Вероятность какого из этих событий равна 1

Вероятность события равна 1, если оно является достоверным, то есть происходит всегда, при любом исходе опыта.

Рассмотрим событие C: "из коробки вынут цветной карандаш".

И красные, и синие карандаши являются цветными. Так как в коробке находятся только карандаши этих двух цветов, любой извлеченный из коробки карандаш обязательно будет цветным. Следовательно, событие C является достоверным.

Вероятность достоверного события равна 1, то есть $P(C) = 1$.

Ответ: Вероятность события C равна 1.

Вероятность какого из этих событий больше 0, но меньше 1

Вероятность события находится в интервале от 0 до 1, то есть $0 < P < 1$, если оно является случайным. Это значит, что событие может как произойти, так и не произойти.

Рассмотрим событие A: "из коробки вынут красный карандаш".

Так как в коробке есть красные карандаши, это событие возможно, поэтому его вероятность больше 0 ($P(A) > 0$). Однако в коробке есть и синие карандаши, поэтому не гарантировано, что будет вынут именно красный. Это означает, что событие A не является достоверным, и его вероятность меньше 1 ($P(A) < 1$).

Рассмотрим событие B: "из коробки вынут синий карандаш".

Рассуждения аналогичны событию A. В коробке есть синие карандаши, поэтому событие B возможно ($P(B) > 0$). Но так как там есть и красные карандаши, событие B не является достоверным ($P(B) < 1$).

Таким образом, события A и B являются случайными, и их вероятности находятся между 0 и 1.

Ответ: Вероятности событий A и B больше 0, но меньше 1.

810. Закинул старик в море невод. Рассматриваются следующие события:

A — пришёл невод с уловом рыбы;

B — пришёл невод с одною тиной;

C — пришёл невод с травой морскою;

D — пришёл невод с золотою рыбкой, которая голосом молвит человечьим.

Есть ли среди данных событий такие, вероятность которых равна $0$; равна $1$; больше $0$, но меньше $1$?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать каждое событие с точки зрения теории вероятностей, оценив, является ли оно невозможным, достоверным или случайным в условиях реального мира.

вероятность которых равна 0

Вероятность, равная 0, соответствует невозможному событию, то есть событию, которое не может произойти. В данном списке событие D — «пришёл невод с золотою рыбкой, которая голосом молвит человечьим» — является невозможным с точки зрения законов природы. Говорящие рыбы существуют только в сказках. Следовательно, вероятность этого события в реальном мире равна нулю. Математически это записывается как $P(D) = 0$.
Ответ: событие D.

равна 1

Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию, то есть событию, которое обязательно произойдет. Ни одно из перечисленных событий (A, B, C, D) не является достоверным. Когда старик закидывает невод, он может поймать рыбу (событие A), тину (событие B), траву (событие C), а может и что-то другое, или вообще ничего. Нет никакой гарантии, что одно из этих конкретных событий обязательно произойдет. Таким образом, событий с вероятностью 1 среди перечисленных нет.
Ответ: таких событий нет.

больше 0, но меньше 1

Вероятность больше 0, но меньше 1, соответствует случайному событию. Это событие, которое может как произойти, так и не произойти. События A («пришёл невод с уловом рыбы»), B («пришёл невод с одною тиной») и C («пришёл невод с травой морскою») являются случайными. Все они описывают возможные, но не гарантированные исходы рыбалки. Вероятность каждого из них находится в интервале $(0, 1)$, то есть $0 < P(A) < 1$, $0 < P(B) < 1$ и $0 < P(C) < 1$.
Ответ: события A, B, C.

811. В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?

Для решения этой задачи определим общее количество возможных исходов и количество исходов, благоприятствующих нашему событию. Вероятность события будет равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов.

Всего в ящике 10 деталей. Мы выбираем из них 2 детали случайным образом. Порядок выбора не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно:

$n = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Таким образом, существует 45 различных пар деталей, которые можно вытащить из ящика.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Нас интересует событие, при котором обе взятые детали окажутся стандартными. По условию, в ящике 10 деталей и одна из них нестандартная. Значит, стандартных деталей в ящике: $10 - 1 = 9$.

Число способов выбрать 2 стандартные детали из 9 имеющихся стандартных деталей также вычисляется по формуле сочетаний:

$m = C_{9}^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

Следовательно, существует 36 пар стандартных деталей.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ того, что обе детали окажутся стандартными, равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P = \frac{m}{n} = \frac{36}{45}$

Сократим полученную дробь на 9:

$P = \frac{36 \div 9}{45 \div 9} = \frac{4}{5}$

Альтернативный способ решения:

Можно рассчитать вероятность последовательного извлечения двух стандартных деталей.

Вероятность того, что первая извлеченная деталь будет стандартной, равна $\frac{9}{10}$ (так как в ящике 9 стандартных из 10).

После того как была извлечена одна стандартная деталь, в ящике осталось 9 деталей, из которых 8 стандартных. Вероятность извлечь вторую стандартную деталь при условии, что первая была стандартной, равна $\frac{8}{9}$.

Чтобы найти вероятность того, что оба события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{72}{90} = \frac{4}{5}$

Ответ: Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, равна $\frac{4}{5}$ или 0.8.

812. Три билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что все билеты достанутся девочкам?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

1. Определение общего числа исходов (n).

Сначала найдем общее количество детей, участвующих в жребии: 15 мальчиков + 12 девочек = 27 детей.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 3-х детей из 27, которым достанутся билеты. Поскольку порядок выбора детей не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число детей $n=27$, а количество билетов $k=3$.

$n = C_{27}^3 = \frac{27!}{3!(27-3)!} = \frac{27!}{3! \cdot 24!} = \frac{25 \cdot 26 \cdot 27}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 13 \cdot 9 = 2925$

Таким образом, существует 2925 способов распределить 3 билета среди 27 детей.

2. Определение числа благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это событие, при котором все три билета достаются девочкам. Всего в группе 12 девочек.

Число благоприятных исходов — это количество способов выбрать 3-х девочек из 12. Снова применяем формулу сочетаний:

$m = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220$

Следовательно, существует 220 способов, при которых все три билета получат девочки.

3. Расчет вероятности.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем рассчитать искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{220}{2925}$

Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Оба числа делятся на 5:

$P = \frac{220 \div 5}{2925 \div 5} = \frac{44}{585}$

Разложим на простые множители числитель и знаменатель, чтобы убедиться, что дробь несократима: $44 = 2^2 \cdot 11$ и $585 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13$. Общих множителей нет, значит, дробь является окончательным ответом.

Ответ: $\frac{44}{585}$.

813. В коробке лежит 8 красных и 4 синих карандаша. Наугад вынимают 2 карандаша. Какова вероятность того, что оба карандаша окажутся красными?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Пусть событие $A$ заключается в том, что оба вынутых карандаша окажутся красными. Вероятность этого события вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов, $n$. В коробке находится 8 красных и 4 синих карандаша, то есть всего $8 + 4 = 12$ карандашей. Нам нужно выбрать 2 карандаша из 12. Порядок выбора не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее число способов выбрать 2 карандаша из 12 равно:

$n = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 66$

Таким образом, существует 66 равновозможных способов вынуть 2 карандаша из коробки.

2. Найдем число благоприятствующих исходов, $m$. Благоприятствующий исход — это когда оба вынутых карандаша оказываются красными. В коробке 8 красных карандашей. Число способов выбрать 2 красных карандаша из 8 равно:

$m = C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 28$

Итак, существует 28 способов вынуть 2 красных карандаша.

3. Вычислим искомую вероятность $P(A)$:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{28}{66}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(A) = \frac{14}{33}$

Ответ: $\frac{14}{33}$