Номер 808, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

808. На четырёх карточках были написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали, а затем положили в ряд и открыли. Какова вероятность того, что в результате получилось число, большее 2000?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Найдем общее количество возможных исходов.

Из четырех карточек с цифрами 1, 2, 3, 4 составляются четырехзначные числа. Все цифры в числе должны быть разными. Общее количество таких чисел равно числу перестановок из 4 элементов. Обозначим общее число всех равновозможных исходов как $N$.

$N = P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, всего можно составить 24 различных четырехзначных числа.

2. Найдем количество благоприятных исходов.

Благоприятным исходом считается получение числа, которое больше 2000. Чтобы четырехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, было больше 2000, его первая цифра (цифра в разряде тысяч) должна быть 2, 3 или 4. Если на первом месте будет стоять цифра 1, то любое полученное число (например, 1234, 1432) будет меньше 2000.

Рассмотрим все подходящие случаи:

• Если первая цифра – 2. Оставшиеся три цифры (1, 3, 4) можно расположить на оставшихся трех местах. Количество способов это сделать равно числу перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ чисел.

• Если первая цифра – 3. Аналогично, оставшиеся три цифры (1, 2, 4) можно разместить $P_3 = 3! = 6$ способами.

• Если первая цифра – 4. Оставшиеся три цифры (1, 2, 3) также можно разместить $P_3 = 3! = 6$ способами.

Теперь сложим количество благоприятных исходов для каждого случая, чтобы найти общее количество чисел, больших 2000. Обозначим это количество как $m$.

$m = 6 + 6 + 6 = 18$

Итак, существует 18 благоприятных исходов.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение количества благоприятных исходов $m$ к общему количеству исходов $N$:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{18}{24}$

Сократим полученную дробь на 6:

$P(A) = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Также эту задачу можно решить проще. Так как все перестановки карточек равновероятны, то вероятность появления любой из цифр (1, 2, 3, 4) на первом месте одинакова и равна $1/4$. Условию "число больше 2000" удовлетворяют случаи, когда на первом месте стоят цифры 2, 3 или 4. Таких благоприятных цифр три. Следовательно, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий: $1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4$.

Ответ: $\frac{3}{4}$